如图所示，直线 $x = 2$ 与双曲线 $\Gamma: \frac{x^2}{4} - y^2 = 1$ 的渐近线交于 $E_1$，$E_2$ 两点，记 $\overrightarrow{OE_1} = \boldsymbol{e}_1$，$\overrightarrow{OE_2} = \boldsymbol{e}_2$，任取双曲线 $\Gamma$ 上的点 $P$，若 $\overrightarrow{OP} = a\boldsymbol{e}_1 + b\boldsymbol{e}_2$（$a$，$b \in \mathbf{R}$），则 $a$，$b$ 满足的一个等式是______.

已知椭圆 $\Gamma$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$），点 $P$ 的坐标为 $(-a, b)$.

(1) 若直角坐标平面上的点 $M$，$A(0, -b)$，$B(a, 0)$ 满足 $\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB})$，求点 $M$ 的坐标； (2) 设直线 $l_1: y = k_1x + p$ 交椭圆 $\Gamma$ 于 $C$，$D$ 两点，交直线 $l_2: y = k_2x$ 于点 $E$. 若 $k_1 \cdot k_2 = -\frac{b^2}{a^2}$，证明： $E$ 为 $CD$ 的中点； (3) 对于椭圆 $\Gamma$ 上的点 $Q(a\cos \theta, b\sin \theta)$ （$0 < \theta < \pi$） ，如果椭圆 $\Gamma$ 上存在不同的两点 $P_1$，$P_2$ 使 $\overrightarrow{PP_1} + \overrightarrow{PP_2} = \overrightarrow{PQ}$，写出求作点 $P_1$，$P_2$ 的步骤，并求出使 $P_1$，$P_2$ 存在的 $\theta$ 满足的条件.