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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 M={x∣x2=x}M = \{x \mid x^2 = x\}，N={x∣lg⁡x⩽0}N = \{x \mid \lg x \leqslant 0\}，则 M∪N=M \cup N =（ ）
A.
[0,1][0,1]
B.
(0,1](0,1]
C.
[0,1)[0,1)
D.
(−∞,1](-\infty, 1]

2015 · 陕西 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02概率与统计★☆☆☆☆
某中学初中部共有 110 名110\text{ 名} 教师，高中部共有 150 名150\text{ 名} 教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）
A.
93
B.
123
C.
137
D.
167

2015 · 陕西 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
如图，某港口一天 6 时6\text{ 时} 到 18 时18\text{ 时} 的水深变化曲线近似满足函数 y=3sin⁡(π6x+φ)+ky = 3\sin \left(\frac{\pi}{6} x + \varphi\right) + k. 据此函数可知，这段时间水深（单位：m\mathrm{m}）的最大值为（ ）
A.
5
B.
6
C.
8
D.
10

2015 · 陕西 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04计数原理与组合数学★☆☆☆☆
二项式 (x+1)n(x + 1)^n （n∈N+n \in \mathbf{N}_+）的展开式中 x2x^2 的系数为 15，则 n=n =（ ）
A.
7
B.
6
C.
5
D.
4

2015 · 陕西 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★☆☆☆
一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A.
3π3 \pi
B.
4π4 \pi
C.
2π+42 \pi + 4
D.
3π+43 \pi + 4

2015 · 陕西 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06集合与逻辑基础★★☆☆☆
“sin⁡α=cos⁡α\sin \alpha = \cos \alpha”是“cos⁡2α=0\cos 2\alpha = 0”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要

2015 · 陕西 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
对任意向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A.
∣a⋅b∣⩽∣a∣∣b∣|\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}| \leqslant |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|
B.
∣a−b∣⩽∣∣a∣−∣b∣∣|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| \leqslant ||\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}||
C.
(a+b)2=∣a+b∣2(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})^2 = |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|^2
D.
(a+b)⋅(a−b)=a2−b2(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) = \boldsymbol{a}^2 - \boldsymbol{b}^2

2015 · 陕西 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08数列★★☆☆☆
根据框图，当输入 xx 为 2006 时，输出的 y=y =（ ）
A.
28
B.
10
C.
4
D.
2

2015 · 陕西 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09不等式★★☆☆☆
设 f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x，0<a<b0 < a < b，若 p=f(ab)p = f\left(\sqrt{ab}\right)，q=f(a+b2)q = f\left(\frac{a + b}{2}\right)，r=12(f(a)+f(b))r = \frac{1}{2}(f(a) + f(b))，则下列关系式中正确的是（ ）
A.
q=r<pq = r < p
B.
q=r>pq = r > p
C.
p=r<qp = r < q
D.
p=r>qp = r > q

2015 · 陕西 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★☆☆
某企业生产甲、乙两种产品均需用 A、B 两种原料，已知生产 1 吨1\text{ 吨} 每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示. 如果生产 1 吨1\text{ 吨} 甲、乙产品可获利润分别为 3 万元3\text{ 万元}，4 万元4\text{ 万元}，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
B（吨）128
A.
12 万元12\text{ 万元}
B.
16 万元16\text{ 万元}
C.
17 万元17\text{ 万元}
D.
18 万元18\text{ 万元}

2015 · 陕西 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11概率与统计★★★☆☆
设复数 z=(x−1)+yiz = (x - 1) + y\mathrm{i} （xx，y∈Ry \in \mathbf{R}），若 ∣z∣⩽1|z| \leqslant 1，则 y⩾xy \geqslant x 的概率为（ ）
A.
34+12π\frac{3}{4} + \frac{1}{2\pi}
B.
12+1π\frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}
C.
12−1π\frac{1}{2} - \frac{1}{\pi}
D.
14−12π\frac{1}{4} - \frac{1}{2\pi}

2015 · 陕西 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
对二次函数 f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c （aa 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）
A.
−1-1 是 f(x)f(x) 的零点
B.
11 是 f(x)f(x) 的极值点
C.
33 是 f(x)f(x) 的极值
D.
点 (2,8)(2,8) 在曲线 y=f(x)y = f(x) 上

2015 · 陕西 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13数列★☆☆☆☆
中位数为 10101010 的一组数构成等差数列，其末项为 20152015，则该数列的首项为______.

2015 · 陕西 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
若抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px（p>0p > 0） 的准线经过双曲线 x2−y2=1x^{2} - y^{2} = 1 的一个焦点，则 p=p =______.

2015 · 陕西 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15导数及其应用★★☆☆☆
设曲线 y=exy = \mathrm{e}^{x} 在点 (0,1)(0,1) 处的切线与曲线 y=1xy = \frac{1}{x}（x>0x > 0）上点 PP 处的切线垂直，则 PP 的坐标为______.

2015 · 陕西 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★☆☆
如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为______.

2015 · 陕西 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 向量 m=(a,3b)\boldsymbol{m} = (a, \sqrt{3} b) 与 n=(cos⁡A,sin⁡B)\boldsymbol{n} = (\cos A, \sin B) 平行.
(1) 求 AA； (2) 若 a=7a = \sqrt{7}，b=2b = 2，求 △ABC\triangle ABC 的面积.

2015 · 陕西 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图 1，在直角梯形 ABCDABCD 中，AD∥BCAD \parallel BC，∠BAD=π2\angle BAD = \frac{\pi}{2}，AB=BC=1AB = BC = 1，AD=2AD = 2，EE 是 ADAD 的中点，OO 是 ACAC 与 BEBE 的交点. 将 △ABE\triangle ABE 沿 BEBE 折起到 △A1BE\triangle A_1BE 的位置，如图 2.
(1) 证明：CD⊥CD\perp 平面 A1OCA_{1}OC； (2) 若平面 A1BE⊥A_{1}BE \perp 平面 BCDEBCDE，求平面 A1BCA_{1}BC 与平面 A1CDA_{1}CD 夹角的余弦值.

2015 · 陕西 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 TT，TT 只与道路畅通状况有关，对其容量为 100100 的样本进行统计，结果如下：
(1) 求 TT 的分布列与数学期望 E(T)E(T)； (2) 刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 50 分钟50\text{ 分钟} 的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟120\text{ 分钟} 的概率.

2015 · 陕西 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的半焦距为 cc，原点 OO 到经过两点 (c,0)(c,0)，(0,b)(0,b) 的直线的距离为 12c\frac{1}{2}c.
(1) 求椭圆 EE 的离心率； (2) 如图，ABAB 是圆 M ⁣:(x+2)2+(y−1)2=52M\colon (x+2)^{2} + (y-1)^{2} = \frac{5}{2} 的一条直径，若椭圆 EE 经过 AA，BB 两点，求椭圆 EE 的方程.

2015 · 陕西 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★☆
设 fn(x)f_{n}(x) 是等比数列 11，xx，x2x^{2}，⋯\cdots，xnx^{n} 的各项和，其中 x>0x > 0，n∈Nn \in \mathbf{N}，n⩾2n \geqslant 2.
(1) 证明：函数 Fn(x)=fn(x)−2F_{n}(x) = f_{n}(x) - 2 在 (12,1)\left(\frac{1}{2}, 1\right) 内有且仅有一个零点（记为 xnx_{n}），且 xn=12+12xnn+1x_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}x_{n}^{n+1}； (2) 设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 gn(x)g_{n}(x)，比较 fn(x)f_{n}(x) 和 gn(x)g_{n}(x) 的大小，并加以证明.

2015 · 陕西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
如图，ABAB 切 ⊙O\odot O 于点 BB，直线 AOAO 交 ⊙O\odot O 于 DD，EE 两点，BC⊥DEBC \perp DE，垂足为 CC.
(1) 证明：∠CBD=∠DBA\angle CBD = \angle DBA； (2) 若 AD=3DCAD = 3DC，BC=2BC = \sqrt{2}，求 ⊙O\odot O 的直径.

2015 · 陕西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★☆☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，直线 ll 的参数方程为
{x=3+12t,y=32t,\begin{cases} x = 3 + \frac{1}{2} t,\\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t, \end{cases}
（tt 为参数），以原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系. ⊙C\odot C 的极坐标方程为 ρ=23sin⁡θ\rho = 2\sqrt{3}\sin \theta.
(1) 写出 ⊙C\odot C 的直角坐标方程； (2) PP 为直线 ll 上一动点，当 PP 到圆心 CC 的距离最小时，求 PP 的直角坐标.

2015 · 陕西 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
已知关于 xx 的不等式 ∣x+a∣<b|x + a| < b 的解集为 {x∣2<x<4}\{x \mid 2 < x < 4\}.
(1) 求实数 aa，bb 的值； (2) 求 at+12+bt\sqrt{at+12}+\sqrt{bt} 的最大值.

2015 · 陕西 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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