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01复数★☆☆☆☆
i\mathrm{i} 是虚数单位，i3+3i=\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{3} + 3\mathrm{i}} =（ ）
A.
14−312i\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{12}\mathrm{i}
B.
14+312i\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{12}\mathrm{i}
C.
12+36i\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{6}\mathrm{i}
D.
12−36i\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}\mathrm{i}

2010 · 安徽 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
若集合 A={x∣log⁡12x⩾12}A = \left\{x \mid \log_{\frac{1}{2}} x \geqslant \frac{1}{2}\right\}，则 ∁RA=\complement_{\mathbf{R}} A =（ ）
A.
(−∞,0]∪(22,+∞)(-\infty, 0] \cup \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty\right)
B.
(22,+∞)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty\right)
C.
(−∞,0]∪[22,+∞)(-\infty, 0] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty\right)
D.
[22,+∞)\left[\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty\right)

2010 · 安徽 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03平面向量★☆☆☆☆
设向量 a=(1,0)\boldsymbol{a} = (1,0)，b=(12,12)\boldsymbol{b} = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)，则下列结论中正确的是（ ）
A.
∣a∣=∣b∣|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|
B.
a⋅b=22\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \frac{\sqrt{2}}{2}
C.
a−b\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} 与 b\boldsymbol{b} 垂直
D.
a∥b\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}

2010 · 安徽 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
若 f(x)f(x) 是 R\mathbf{R} 上周期为 5 的奇函数，且满足 f(1)=1f(1) = 1，f(2)=2f(2) = 2，则 f(3)−f(4)=f(3) - f(4) =（ ）
A.
−1-1
B.
11
C.
−2-2
D.
22

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05解析几何★☆☆☆☆
双曲线方程为 x2−2y2=1x^{2} - 2y^{2} = 1，则它的右焦点坐标为（ ）
A.
(22,0)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)
B.
(52,0)\left(\frac{\sqrt{5}}{2}, 0\right)
C.
(62,0)\left(\frac{\sqrt{6}}{2}, 0\right)
D.
(3,0)(\sqrt{3},0)

2010 · 安徽 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★★☆☆
设 abc>0abc > 0，二次函数 f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c 的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.

2010 · 安徽 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★★☆☆
设曲线 CC 的参数方程为
{x=2+3cos⁡θ,y=−1+3sin⁡θ,\begin{cases} x = 2 + 3\cos \theta,\\ y = -1 + 3\sin \theta, \end{cases}
（θ\theta 为参数），直线 ll 的方程为 x−3y+2=0x - 3y + 2 = 0，则曲线 CC 上到直线 ll 的距离为 71010\frac{7\sqrt{10}}{10} 的点的个数为（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2010 · 安徽 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★☆☆
一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为（ ）
A.
280280
B.
292292
C.
360360
D.
372372

2010 · 安徽 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09三角函数★★★☆☆
动点 A(x,y)A(x, y) 在圆 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12 秒12\text{ 秒}旋转一周. 已知时间 t=0t = 0 时，点 AA 的坐标是 (12,32)\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)，则当 0⩽t⩽120 \leqslant t \leqslant 12 时，动点 AA 的纵坐标 yy 关于 tt（单位：秒）的函数的单调递增区间是（ ）
A.
[0,1][0,1]
B.
[1,7][1,7]
C.
[7,12][7,12]
D.
[0,1][0,1] 和 [7,12][7,12]

2010 · 安徽 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10数列★★★☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 是任意等比数列，它的前 nn 项和，前 2n2n 项和与前 3n3n 项和分别为 XX，YY，ZZ，则下列等式中恒成立的是（ ）
A.
X+Z=2YX + Z = 2Y
B.
Y(Y−X)=Z(Z−X)Y(Y - X) = Z(Z - X)
C.
Y2=XZY^{2} = XZ
D.
Y(Y−X)=X(Z−X)Y(Y - X) = X(Z - X)

2010 · 安徽 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11集合与逻辑基础★☆☆☆☆
命题“对任何 x∈Rx \in \mathbf{R}，∣x−2∣+∣x−4∣>3|x - 2| + |x - 4| > 3”的否定是______.

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12计数原理与组合数学★★★☆☆
(xy−yx)6\left(\frac{x}{\sqrt{y}} - \frac{y}{\sqrt{x}}\right)^{6} 的展开式中，x3x^{3} 的系数等于______.

2010 · 安徽 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13不等式★★★☆☆
设 xx，yy 满足约束条件
{2x−y+2⩾0,8x−y−4⩽0,x⩾0,y⩾0\begin{cases} 2x - y + 2 \geqslant 0,\\ 8x - y - 4 \leqslant 0,\\ x \geqslant 0,\\ y \geqslant 0 \end{cases}
， 若目标函数 z=abx+yz = abx + y（a>0a > 0，b>0b > 0）的最大值为 88，则 a+ba + b 的最小值为______.

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14数列★★☆☆☆
如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值 x=x =______.

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15概率与统计★★★☆☆
甲罐中有 55 个红球，22 个白球和 33 个黑球，乙罐中有 44 个红球，33 个白球和 33 个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A1A_1，A2A_2 和 A3A_3 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一球，以 BB 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列命题中正确的是______.
① P(B)=25P(B)=\frac{2}{5}； ② P(B∣A1)=511P(B \mid A_1)=\frac{5}{11}； ③ 事件 BB 与事件 A1A_1 相互独立； ④ A1A_1，A2A_2，A3A_3 是两两互斥的事件； ⑤ P(B)P(B) 的值不能确定，因为它与 A1A_1，A2A_2，A3A_3 中究竟哪一个发生有关.

2010 · 安徽 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC 是锐角三角形，aa，bb，cc 分别是内角 AA，BB，CC 所对边长，并且 sin⁡2A=sin⁡(π3+B)sin⁡(π3−B)+sin⁡2B\sin^{2} A = \sin \left(\frac{\pi}{3} + B\right) \sin \left(\frac{\pi}{3} - B\right) + \sin^{2} B.
(1) 求角 AA 的值； (2) 若 AB→⋅AC→=12\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 12，a=27a = 2 \sqrt{7}，求 bb，cc（其中 b<cb < c）.

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17导数及其应用★★★☆☆
设 aa 为实数，函数 f(x)=ex−2x+2af(x) = \mathrm{e}^{x} - 2x + 2a，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间与极值； (2) 求证：当 a>ln⁡2−1a > \ln 2 - 1 且 x>0x > 0 时，ex>x2−2ax+1\mathrm{e}^{x} > x^{2} - 2ax + 1.

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在多面体 ABCDEFABCDEF 中，四边形 ABCDABCD 是正方形，EF∥ABEF \parallel AB，EF⊥FBEF \perp FB，AB=2EFAB = 2EF，∠BFC=90∘\angle BFC = 90^\circ，BF=FCBF = FC，HH 为 BCBC 的中点.
(1) 求证： FH∥FH \parallel 平面 EDBEDB； (2) 求证： AC⊥AC \perp 平面 EDBEDB； (3) 求二面角 B−DE−CB - DE - C 的大小.

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19解析几何★★★★☆
如图，已知椭圆 EE 经过点 A(2,3)A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点 F1F_{1}，F2F_{2} 在 xx 轴上，离心率 e=12e = \frac{1}{2}.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 求 ∠F1AF2\angle F_{1}AF_{2} 的角平分线所在直线 ll 的方程； (3) 在椭圆 EE 上是否存在关于直线 ll 对称的相异两点？ 若存在，请找出；若不存在，说明理由.

2010 · 安徽 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
设数列 a1a_{1}，a2a_{2}，⋯\cdots，ana_{n}，⋯\cdots 中的每一项都不为 00. 证明： {an}\{a_{n}\} 为等差数列的充分必要条件是：对任何 n∈N+n \in \mathbf{N}^{+}，都有 1a1a2+1a2a3+⋯+1anan+1=na1an+1\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \cdots + \frac{1}{a_{n} a_{n+1}} = \frac{n}{a_{1} a_{n+1}}.

2010 · 安徽 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21概率与统计★★★★☆
品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一般通常采用的测试方法如下：拿出 nn 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这 nn 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试. 根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.
现设 n=4n = 4，分别以 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3}，a4a_{4} 表示第一次排序时被排为 11，22，33，44 的四种酒在第二次排序时的序号，并令 X=∣1−a1∣+∣2−a2∣+∣3−a3∣+∣4−a4∣X = |1 - a_{1}| + |2 - a_{2}| + |3 - a_{3}| + |4 - a_{4}|，则 XX 是对两次排序的偏离程度的一种描述.
(1) 写出 XX 的可能值集合； (2) 假设 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3}，a4a_{4} 等可能地为 11，22，33，44 的各种排列，求 XX 的分布列； (3) 某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有 X⩽2X \leqslant 2，
(i) 试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率 （假定各轮测试相互独立）； (ii) 你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？ 说明理由.

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