设 $a$ 为实数，函数 $f(x) = \mathrm{e}^{x} - 2x + 2a$，$x \in \mathbf{R}$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间与极值； (2) 求证：当 $a > \ln 2 - 1$ 且 $x > 0$ 时，$\mathrm{e}^{x} > x^{2} - 2ax + 1$.