动点 $A(x, y)$ 在圆 $x^2 + y^2 = 1$ 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，$12\text{ 秒}$旋转一周. 已知时间 $t = 0$ 时，点 $A$ 的坐标是 $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，则当 $0 \leqslant t \leqslant 12$ 时，动点 $A$ 的纵坐标 $y$ 关于 $t$（单位：秒）的函数的单调递增区间是（ ）

设 $\triangle ABC$ 是锐角三角形，$a$，$b$，$c$ 分别是内角 $A$，$B$，$C$ 所对边长，并且 $\sin^{2} A = \sin \left(\frac{\pi}{3} + B\right) \sin \left(\frac{\pi}{3} - B\right) + \sin^{2} B$.

(1) 求角 $A$ 的值； (2) 若 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 12$，$a = 2 \sqrt{7}$，求 $b$，$c$（其中 $b < c$）.