如果实数 $x$ 与 $y$ 满足方程 $x + y - 4 = 0$，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值是（ ）

设函数 $f(x)=\log_{3}\left(x^{2}-4mx+4m^{2}+m+\frac{1}{m-1}\right)$，其中 $m$ 是实数，又用 $M$ 表示集合 $\{m \mid m>1\}$.

(1) 求证：当 $m \in M$ 时，$f(x)$ 对所有实数 $x$ 都有意义；反之，如果 $f(x)$ 对所有实数 $x$ 都有意义，则 $m \in M$. (2) 当 $m \in M$ 时，求函数 $f(x)$ 的最小值. (3) 求证：对每一个 $m \in M$，函数 $f(x)$ 的最小值都不小于 $1$.