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01复数★☆☆☆☆
i\mathrm{i} 是虚数单位，5i2−i=\frac{5\mathrm{i}}{2 - \mathrm{i}} =（ ）
A.
1+2i1 + 2\mathrm{i}
B.
−1−2i-1 - 2\mathrm{i}
C.
1−2i1 - 2\mathrm{i}
D.
−1+2i-1 + 2\mathrm{i}

2009 · 天津 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02不等式★★☆☆☆
设变量 xx，yy 满足约束条件
{x+y⩾3,x−y⩾−1,2x−y⩽3.\begin{cases} x + y \geqslant 3,\\ x - y \geqslant -1,\\ 2x - y \leqslant 3. \end{cases}
则目标函数 z=2x+3yz = 2x + 3y 的最小值为（ ）
A.
6
B.
7
C.
8
D.
23

2009 · 天津 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设 x∈Rx \in \mathbf{R}，则 x=1x = 1 是“x3=xx^3 = x”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2009 · 天津 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★☆☆☆☆
设双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>0a > 0，b>0b > 0）的虚轴长为 2，焦距为 232\sqrt{3}，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A.
y=±2xy = \pm \sqrt{2} x
B.
y=±2xy = \pm 2x
C.
y=±22xy = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x
D.
y=±12xy = \pm \frac{1}{2} x

2009 · 天津 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★★☆☆☆
设 a=log⁡132a = \log_{\frac{1}{3}} 2，b=log⁡1213b = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}，c=(12)0.3c = \left(\frac{1}{2}\right)^{0.3}，则（ ）
A.
a<b<ca < b < c
B.
a<c<ba < c < b
C.
b<c<ab < c < a
D.
b<a<cb < a < c

2009 · 天津 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06概率与统计★☆☆☆☆
阅读如图的程序框图，则输出的 SS =（ ）
A.
14
B.
20
C.
30
D.
55

2009 · 天津 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(ωx+π4)f(x) = \sin \left( \omega x + \frac{\pi}{4} \right) （x∈Rx \in \mathbf{R}，ω>0\omega > 0）的最小正周期为 π\pi. 将 y=f(x)y = f(x) 的图象向左平移 ∣φ∣\left| \varphi \right| 个单位长度，所得图象关于 yy 轴对称，则 φ\varphi 的一个值是（ ）
A.
π2\frac{\pi}{2}
B.
3π8\frac{3\pi}{8}
C.
π4\frac{\pi}{4}
D.
π8\frac{\pi}{8}

2009 · 天津 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
设函数
f(x)={x2−4x+6,x⩾0,x+6,x<0,f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 6, & x \geqslant 0,\\ x + 6, & x < 0, \end{cases}
则不等式 f(x)>f(1)f(x) > f(1) 的解集是（ ）
A.
(−3,1)∪(3,+∞)(-3,1)\cup (3, + \infty)
B.
(−3,1)∪(2,+∞)(-3,1)\cup (2, + \infty)
C.
(−1,1)∪(3,+∞)(-1, 1) \cup (3, +\infty)
D.
(−∞,−3)∪(1,3)(-\infty, -3) \cup (1, 3)

2009 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09指数函数与对数函数★★★☆☆
设 xx，y∈Ry \in \mathbf{R}，a>1a > 1，b>1b > 1. 若 ax=by=3a^x = b^y = 3，a+b=23a + b = 2\sqrt{3}，则 1x+1y\frac{1}{x} + \frac{1}{y} 的最大值为（ ）
A.
2
B.
32\frac{3}{2}
C.
1
D.
12\frac{1}{2}

2009 · 天津 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)f(x) 在 R\mathbf{R} 上的导函数为 f′(x)f'(x)，且 2f(x)+xf′(x)>x22f(x) + xf'(x) > x^2. 下面的不等式在 R\mathbf{R} 内恒成立的是（ ）
A.
f(x)>0f(x) > 0
B.
f(x)<0f(x) < 0
C.
f(x)>xf(x) > x
D.
f(x)<xf(x) < x

2009 · 天津 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11三角函数★★☆☆☆
如图，AA1AA_{1} 与 BB1BB_{1} 相交于点 OO，AB∥A1B1AB \parallel A_{1}B_{1} 且 AB=12A1B1AB = \frac{1}{2} A_{1}B_{1}，若 △AOB\triangle AOB 的外接圆直径为 1，则 △A1OB1\triangle A_{1}OB_{1} 的外接圆直径为______.

2009 · 天津 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12立体几何初步★★☆☆☆
如图是一个几何体的三视图，若它的体积是 333 \sqrt{3}，则 a=a =______.

2009 · 天津 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13集合与逻辑基础★★☆☆☆
设全集 U=A∪B={x∈N∗∣lg⁡x<1}U = A \cup B = \{x \in \mathbf{N}^{*} \mid \lg x < 1\}，若 A∩(∁UB)={m∣m=2n+1,n=0,1,2,3,4}A \cap (\complement_U B) = \{m \mid m = 2n + 1, n = 0, 1, 2, 3, 4\}，则集合 B=B =______.

2009 · 天津 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
若圆 x2+y2=4x^{2} + y^{2} = 4 与圆 x2+y2+2ay−6=0x^{2} + y^{2} + 2ay - 6 = 0 （a>0a > 0）的公共弦的长为 232\sqrt{3}，则 a=a =______.

2009 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15平面向量★★☆☆☆
若等边 △ABC\triangle ABC 的边长为 232\sqrt{3}，平面内一点 MM 满足 CM→=16CB→+23CA→\overrightarrow{CM} = \frac{1}{6}\overrightarrow{CB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{CA}，则 MA→⋅MB→=\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} =______.

2009 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16不等式★★★★☆
若关于 xx 的不等式 (2x−1)2<ax2(2x - 1)^2 < ax^2 的解集中的整数恰好有3个，则实数 aa 的取值范围是______.

2009 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，BC=5BC = \sqrt{5}，AC=3AC = 3，sin⁡C=2sin⁡A\sin C = 2\sin A.
(1) 求 ABAB 的值； (2) 求 sin⁡(2A−π4)\sin\left(2A-\frac{\pi}{4}\right) 的值.

2009 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从 AA，BB，CC 三个区中抽取 7 个工厂进行调查，已知 AA，BB，CC 区中分别有 18，27，18 个工厂.
(1) 求从 AA，BB，CC 区中分别抽取的工厂个数； (2) 若从抽取的 7 个工厂中随机抽取 2 个进行调查结果的对比，用列举法计算这 2 个工厂中至少有 1 个来自 AA 区的概率.

2009 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PD⊥PD \perp 平面 ABCDABCD，AD⊥CDAD \perp CD，且 DBDB 平分 ∠ADC\angle ADC，EE 为 PCPC 的中点，AD=CD=1AD = CD = 1，DB=22DB = 2\sqrt{2}.
(1) 证明 PA∥PA \parallel 平面 BDEBDE； (2) 证明 AC⊥AC \perp 平面 PBDPBD； (3) 求直线 BCBC 与平面 PBDPBD 所成的角的正切值.

2009 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差 dd 不为 0，设 Sn=a1+a2q+⋯+anqn−1S_{n} = a_{1} + a_{2}q + \dots +a_{n}q^{n - 1}，Tn=a1−a2q+⋯+(−1)n−1anqn−1T_{n} = a_{1} - a_{2}q + \dots +( -1)^{n - 1}a_{n}q^{n - 1}，q≠0q\neq 0，n∈N∗n\in \mathbf{N}^{*}.
(1) 若 q=1q = 1，a1=1a_{1} = 1，S3=15S_{3} = 15，求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 若 a1=da_{1} = d，S1S_{1}，S2S_{2}，S3S_{3} 成等比数列，求 qq 的值. (3) 若 q≠±1q \neq \pm 1，证明 (1−q)S2n−(1+q)T2n=2dq(1−q2n)1−q2(1 - q)S_{2n} - (1 + q)T_{2n} = \frac{2dq(1 - q^{2n})}{1 - q^2}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}.

2009 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=−13x3+x2+(m2−1)xf(x) = -\frac{1}{3} x^3 + x^2 + (m^2 - 1)x（x∈Rx \in \mathbf{R}），其中 m>0m > 0.
(1) 当 m=1m = 1 时，求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线的斜率； (2) 求函数的单调区间与极值； (3) 已知函数 f(x)f(x) 有三个互不相同的零点 00，x1x_1，x2x_2，且 x1<x2x_1 < x_2. 若对任意的 x∈[x1,x2]x \in [x_1, x_2]，f(x)>f(1)f(x) > f(1) 恒成立，求 mm 的取值范围.

2009 · 天津 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）的两个焦点分别为 F1(−c,0)F_1(-c,0) 和 F2(c,0)F_2(c,0)（c>0c > 0），过点 E(a2c,0)E\left(\frac{a^2}{c}, 0\right) 的直线与椭圆相交于 AA，BB 两点，且 F1A∥F2BF_1A \parallel F_2B，∣F1A∣=2∣F2B∣|F_1A| = 2|F_2B|.
(1) 求椭圆的离心率； (2) 求直线 ABAB 的斜率； (3) 设点 CC 与点 AA 关于坐标原点对称，直线 F2BF_{2}B 上有一点 H(m,n)H(m, n)（m≠0m \neq 0）在 △AF1C\triangle AF_{1}C 的外接圆上，求 nm\frac{n}{m} 的值.

2009 · 天津 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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