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01复数★☆☆☆☆
复数 z=1i−1z = \frac{1}{\mathrm{i} - 1} 的模为（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
C.
2\sqrt{2}
D.
22

2013 · 辽宁 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∣0<log⁡4x<1}A = \{x \mid 0 < \log_4 x < 1\}，B={x∣x⩽2}B = \{x \mid x \leqslant 2\}，则 A∩B=A \cap B =（ ）
A.
(0,1)(0,1)
B.
(0,2](0,2]
C.
(1,2)(1,2)
D.
(1,2](1,2]

2013 · 辽宁 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03平面向量★☆☆☆☆
已知点 A(1,3)A(1,3)，B(4,−1)B(4,-1)，则与向量 AB→\overrightarrow{AB} 同方向的单位向量为（ ）
A.
(35,−45)\left(\frac{3}{5}, -\frac{4}{5}\right)
B.
(45,−35)\left(\frac{4}{5}, -\frac{3}{5}\right)
C.
(−35,45)\left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)
D.
(−45,35)\left(-\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right)

2013 · 辽宁 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04数列★★★☆☆
下面是关于公差 d>0d > 0 的等差数列 {an}\{a_n\} 的四个命题：
① 数列 {an}\{a_n\} 是递增数列 ② 数列 {nan}\{na_n\} 是递增数列 ③ 数列 {ann}\left\{\frac{a_n}{n}\right\} 是递增数列 ④ 数列 {an+3nd}\{a_n + 3nd\} 是递增数列
其中的真命题为（ ）
A.
p1p_1，p2p_2
B.
p3p_3，p4p_4
C.
p2p_2，p3p_3
D.
p1p_1，p4p_4

2013 · 辽宁 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05概率与统计★☆☆☆☆
某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)[20,40)，[40,60)[40,60)，[60,80)[60,80)，[80,100][80,100]. 若低于 6060 分的人数是 1515，则该班的学生人数是（ ）
A.
4545
B.
5050
C.
5555
D.
6060

2013 · 辽宁 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，若 asin⁡Bcos⁡C+csin⁡Bcos⁡A=12ba \sin B \cos C + c \sin B \cos A = \frac{1}{2} b，且 a>ba > b，则 ∠B=\angle B =（ ）
A.
π6\frac{\pi}{6}
B.
π3\frac{\pi}{3}
C.
2π3\frac{2\pi}{3}
D.
5π6\frac{5\pi}{6}

2013 · 辽宁 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07计数原理与组合数学★★☆☆☆
使 (3x+1xx)n\left(3x + \frac{1}{x\sqrt{x}}\right)^n（n∈N+n \in \mathbf{N}_{+}）的展开式中含有常数项的最小的 nn 为（ ）
A.
44
B.
55
C.
66
D.
77

2013 · 辽宁 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08数列★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，若输入 n=10n = 10，则输出 S=S =（ ）
A.
511\frac{5}{11}
B.
1011\frac{10}{11}
C.
3655\frac{36}{55}
D.
7255\frac{72}{55}

2013 · 辽宁 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09平面向量★★★☆☆
已知点 O(0,0)O(0,0)，A(0,b)A(0,b)，B(a,a3)B(a,a^{3}). 若 △OAB\triangle OAB 为直角三角形，则必有（ ）
A.
b=a3b = a^{3}
B.
b=a3+1ab = a^{3} + \frac{1}{a}
C.
(b−a3)(b−a3−1a)=0\left(b - a^{3}\right)\left(b - a^{3} - \frac{1}{a}\right) = 0
D.
∣b−a3∣+∣b−a3−1a∣=0\left|b - a^3\right| + \left|b - a^3 - \frac{1}{a}\right| = 0

2013 · 辽宁 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★☆☆
已知直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的 66 个顶点都在球 OO 的球面上. 若 AB=3AB = 3，AC=4AC = 4，AB⊥ACAB \perp AC，AA1=12AA_1 = 12，则球 OO 的半径为（ ）
A.
3172\frac{3\sqrt{17}}{2}
B.
2102\sqrt{10}
C.
132\frac{13}{2}
D.
3103\sqrt{10}

2013 · 辽宁 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=x2−2(a+2)x+a2f(x) = x^2 - 2(a + 2)x + a^2，g(x)=−x2+2(a−2)x−a2+8g(x) = -x^2 + 2(a - 2)x - a^2 + 8，设 H1(x)=max⁡{f(x),g(x)}H_1(x) = \max\{f(x), g(x)\}，H2(x)=min⁡{f(x),g(x)}H_2(x) = \min\{f(x), g(x)\}（max⁡{p,q}\max\{p, q\} 表示 pp，qq 中的较大值，min⁡{p,q}\min\{p, q\} 表示 pp，qq 中的较小值）. 记 H1(x)H_1(x) 的最小值为 AA，H2(x)H_2(x) 的最大值为 BB，则 A−B=A - B =（ ）
A.
1616
B.
−16-16
C.
a2−2a−16a^2 - 2a - 16
D.
a2+2a−16a^2 + 2a - 16

2013 · 辽宁 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)f(x) 满足 x2f′(x)+2xf(x)=exxx^{2}f'(x) + 2xf(x) = \frac{\mathrm{e}^{x}}{x}，f(2)=e28f(2) = \frac{\mathrm{e}^{2}}{8}，则 x>0x > 0 时，f(x)f(x)（ ）
A.
有极大值，无极小值
B.
有极小值，无极大值
C.
既有极大值又有极小值
D.
既无极大值也无极小值

2013 · 辽宁 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13立体几何初步★★☆☆☆
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______.

2013 · 辽宁 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
已知等比数列 {an}\{a_n\} 是递增数列，SnS_n 是 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，若 a1a_1，a3a_3 是方程 x2−5x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0 的两个根，则 S6=S_6 =______.

2013 · 辽宁 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左焦点为 FF，CC 与过原点的直线相交于 AA，BB 两点，连接 AFAF，BFBF，若 ∣AB∣=10|AB| = 10，∣AF∣=6|AF| = 6，cos⁡∠ABF=45\cos \angle ABF = \frac{4}{5}，则椭圆 CC 的离心率 e=e =______.

2013 · 辽宁 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16概率与统计★★★★☆
为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取 55 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据. 已知样本平均数为 77，样本方差为 44，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为______.

2013 · 辽宁 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17平面向量★★★☆☆
设向量 a=(3sin⁡x,sin⁡x)\boldsymbol{a} = (\sqrt{3}\sin x, \sin x)，b=(cos⁡x,sin⁡x)\boldsymbol{b} = (\cos x, \sin x)，x∈[0,π2]x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right].
(1) 若 ∣a∣=∣b∣\left|\boldsymbol{a}\right| = \left|\boldsymbol{b}\right|，求 xx 的值； (2) 设函数 f(x)=a⋅bf(x) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}，求 f(x)f(x) 的最大值.

2013 · 辽宁 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，ABAB 是圆的直径，PAPA 垂直圆所在的平面，CC 是圆上的点.
(1) 求证：平面 PAC⊥PBCPAC \perp PBC； (2) 若 AB=2AB = 2，AC=1AC = 1，PA=1PA = 1，求二面角 C−PB−AC - PB - A 的余弦值.

2013 · 辽宁 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
现有 1010 道题，其中 66 道甲类题，44 道乙类题，张同学从中任取 33 道题解答.
(1) 求张同学至少取到 11 道乙类题的概率； (2) 已知所取的 33 道题中有 22 道甲类题，11 道乙类题. 设张同学答对每道甲类题的概率都是 35\frac{3}{5}，答对每道乙类题的概率都是 45\frac{4}{5}，且各题答对与否相互独立. 用 XX 表示张同学答对题的个数，求 XX 的分布列和数学期望.

2013 · 辽宁 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
如图，抛物线 C1:x2=4yC_1:x^2 = 4y，C2:x2=−2pyC_2:x^2 = -2py（p>0p > 0）. 点 M(x0,y0)M(x_0, y_0) 在抛物线 C2C_2 上，过 MM 作 C1C_1 的切线，切点为 AA，BB（MM 为原点 OO 时，AA，BB 重合于 OO）. 当 x0=1−2x_0 = 1 - \sqrt{2} 时，切线 MAMA 的斜率为 −12-\frac{1}{2}.
(1) 求 pp 的值； (2) 当 MM 在 C2C_2 上运动时，求线段 ABAB 中点 NN 的轨迹方程（AA，BB 重合于 OO 时，中点为 OO）.

2013 · 辽宁 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=(1+x)e−2xf(x) = (1 + x)\mathrm{e}^{-2x}，g(x)=ax+x32+1+2xcos⁡xg(x) = ax + \frac{x^3}{2} + 1 + 2x\cos x，当 x∈[0,1]x \in [0,1] 时，
(1) 求证：1−x⩽f(x)⩽11+x1 - x \leqslant f(x) \leqslant \frac{1}{1 + x}； (2) 若 f(x)⩾g(x)f(x) \geqslant g(x) 恒成立，求实数 aa 的取值范围.

2013 · 辽宁 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
如图，ABAB 为 ⊙O\odot O 直径，直线 CDCD 与 ⊙O\odot O 相切于 EE，ADAD 垂直 CDCD 于 DD，BCBC 垂直 CDCD 于 CC，EFEF 垂直 ABAB 于 FF，连接 AEAE，BEBE. 证明：
(1) ∠FEB=∠CEB\angle FEB = \angle CEB； (2) EF2=AD⋅BCEF^2 = AD \cdot BC.

2013 · 辽宁 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，以 OO 为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 圆 C1C_1，直线 C2C_2 的极坐标方程分别为 ρ=4sin⁡θ\rho = 4\sin \theta，ρcos⁡(θ−π4)=22\rho \cos \left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2}.
(1) 求 C1C_1 与 C2C_2 交点的极坐标； (2) 设 PP 为 C1C_1 的圆心，QQ 为 C1C_1 与 C2C_2 交点连线的中点，已知直线 PQPQ 的参数方程为
{x=t3+a,y=b2t3+1,\begin{cases} x = t^3 + a,\\ y = \frac{b}{2}t^3 + 1, \end{cases}
（t∈Rt \in \mathbf{R} 为参数），求 aa，bb 的值.

2013 · 辽宁 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−a∣f(x) = |x - a|，其中 a>1a > 1.
(1) 当 a=2a = 2 时，求不等式 f(x)⩾4−∣x−4∣f(x) \geqslant 4 - |x - 4| 的解集； (2) 已知关于 xx 的不等式 ∣f(2x+a)−2f(x)∣⩽2\left|f(2x + a) - 2f(x)\right| \leqslant 2 的解集为 {x∣1⩽x⩽2}\{x \mid 1 \leqslant x \leqslant 2\}，求 aa 的值.

2013 · 辽宁 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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