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12
导数及其应用
★★★★☆
设函数
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
满足
x
2
f
′
(
x
)
+
2
x
f
(
x
)
=
e
x
x
x^{2}f'(x) + 2xf(x) = \frac{\mathrm{e}^{x}}{x}
x
2
f
′
(
x
)
+
2
x
f
(
x
)
=
x
e
x
，
f
(
2
)
=
e
2
8
f(2) = \frac{\mathrm{e}^{2}}{8}
f
(
2
)
=
8
e
2
，则
x
>
0
x > 0
x
>
0
时，
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
（ ）
A.
有极大值，无极小值
B.
有极小值，无极大值
C.
既有极大值又有极小值
D.
既无极大值也无极小值
2013 · 辽宁 · 理 · 第 12 题 · 选择题
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21
导数及其应用
★★★★★
已知函数
f
(
x
)
=
(
1
+
x
)
e
−
2
x
f(x) = (1 + x)\mathrm{e}^{-2x}
f
(
x
)
=
(
1
+
x
)
e
−
2
x
，
g
(
x
)
=
a
x
+
x
3
2
+
1
+
2
x
cos
x
g(x) = ax + \frac{x^3}{2} + 1 + 2x\cos x
g
(
x
)
=
a
x
+
2
x
3
+
1
+
2
x
cos
x
，当
x
∈
[
0
,
1
]
x \in [0,1]
x
∈
[
0
,
1
]
时，
(1) 求证：
1
−
x
⩽
f
(
x
)
⩽
1
1
+
x
1 - x \leqslant f(x) \leqslant \frac{1}{1 + x}
1
−
x
⩽
f
(
x
)
⩽
1
+
x
1
； (2) 若
f
(
x
)
⩾
g
(
x
)
f(x) \geqslant g(x)
f
(
x
)
⩾
g
(
x
)
恒成立，求实数
a
a
a
的取值范围.
2013 · 辽宁 · 理 · 第 21 题 · 解答题
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