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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设全集 U={−2,−1,0,1,2}U=\{-2,-1,0,1,2\}，集合 A={0,1,2}A=\{0,1,2\}，B={−1,2}B=\{-1,2\}，则 A∩(CUB)=A\cap\left(C_UB\right)=（ ）
A.
{0,1}\{0,1\}
B.
{0,1,2}\{0,1,2\}
C.
{−1,1,2}\{-1,1,2\}
D.
{−1,0,1,2}\{-1,0,1,2\}

2022 · 天津 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
“xx 为整数”是“2x+12x+1 为整数”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2022 · 天津 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=∣x2−1∣xy=\dfrac{|x^2-1|}{x} 的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

2022 · 天津 · 第 3 题 · 选择题

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04概率与统计★☆☆☆☆
将 1916 年到 2015 年的全球年平均气温（单位：∘C{}^{\circ}\mathrm C），共 100 个数据，分成 6 组：[13.55,13.75)[13.55,13.75)，[13.75,13.95)[13.75,13.95)，[13.95,14.15)[13.95,14.15)，[14.15,14.35)[14.15,14.35)，[14.35,14.55)[14.35,14.55)，[14.55,14.75][14.55,14.75]，并整理得到如下的频率分布直方图，则全球年平均气温在区间 [14.35,14.75][14.35,14.75] 内的有（ ）
A.
22 年22\text{ 年}
B.
23 年23\text{ 年}
C.
25 年25\text{ 年}
D.
35 年35\text{ 年}

2022 · 天津 · 第 4 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★☆☆☆☆
设 a=20.7a=2^{0.7}，b=(13)0.7b=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{0.7}，c=log⁡213c=\log_2\dfrac{1}{3}，则 aa，bb，cc 的大小关系为（ ）
A.
a<b<ca<b<c
B.
c<a<bc<a<b
C.
b<c<ab<c<a
D.
c<b<ac<b<a

2022 · 天津 · 第 5 题 · 选择题

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
化简 (2log⁡43+log⁡83)(log⁡32+log⁡92)=\left(2\log_4 3+\log_8 3\right)\left(\log_3 2+\log_9 2\right)=（ ）
A.
1
B.
54\dfrac{5}{4}
C.
2
D.
52\dfrac{5}{2}

2022 · 天津 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★★☆☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>1b>1）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，抛物线 y2=45xy^2=4\sqrt{5}x 的准线经过 F1F_1，且与双曲线的一条渐近线交于点 AA. 若 ∠F1F2A=π4\angle F_1F_2A=\dfrac{\pi}{4}，则双曲线的方程为（ ）
A.
x216−y24=1\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{4}=1
B.
x24−y216=1\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{16}=1
C.
x24−y2=1\dfrac{x^2}{4}-y^2=1
D.
x2−y24=1x^2-\dfrac{y^2}{4}=1

2022 · 天津 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★★☆
“十字歇山顶”是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图 1 中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶. 其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图 2）. 这两个直三棱柱有一个公共侧面 ABCDABCD，在底面 BCEBCE 中，若 BE=CE=3BE=CE=3，∠BEC=120∘\angle BEC=120^{\circ}，则该几何体的体积为（ ）
\bitmapinclude[max width=6.0cm]{img/2022/tianjin/q8_fig1.png}\bitmapinclude[max width=6.0cm]{img/2022/tianjin/q8_fig2.png}
A.
272\dfrac{27}{2}
B.
2732\dfrac{27\sqrt{3}}{2}
C.
27
D.
27327\sqrt{3}

2022 · 天津 · 第 8 题 · 选择题

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09三角函数★★★☆☆
关于函数 f(x)=12sin⁡2xf(x)=\dfrac{1}{2}\sin 2x，给出下列结论：
① f(x)f(x) 的最小正周期是 2π2\pi； ② f(x)f(x) 在区间 [−π4,π4]\left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right] 上单调递增； ③ 当 x∈[−π6,π3]x\in\left[-\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{3}\right] 时，f(x)f(x) 的取值范围为 [−34,34]\left[-\dfrac{\sqrt{3}}{4},\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right]； ④ f(x)f(x) 的图象可以由函数 g(x)=12sin⁡(2x+π4)g(x)=\dfrac{1}{2}\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right) 的图象向左平移 π8\dfrac{\pi}{8} 个单位长度得到.
其中正确结论的个数为（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

2022 · 天津 · 第 9 题 · 选择题

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10复数★☆☆☆☆
已知 i\mathrm{i} 是虚数单位，化简 11−3i1+2i\dfrac{11-3\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}} 的结果为______.

2022 · 天津 · 第 10 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x+3x2)5\left(\sqrt{x}+\dfrac{3}{x^2}\right)^5 的展开式中，常数项是______.

2022 · 天津 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★☆☆☆
若直线 x−y+m=0x-y+m=0（m>0m>0）被圆 (x−1)2+(y−1)2=3(x-1)^2+(y-1)^2=3 截得的弦长等于 mm，则 mm 的值为______.

2022 · 天津 · 第 12 题 · 填空题

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13概率与统计★★☆☆☆
现有 52 张扑克牌（去掉大小王），每次取一张，取后不放回，则两次都抽到 AA 的概率为______；在第一次抽到 AA 的条件下，第二次也抽到 AA 的概率为______.

2022 · 天津 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，点 DD 为 ACAC 的中点，点 EE 满足 CB→=2BE→\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{BE}. 记 CA→=a\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{a}，CB→=b\overrightarrow{CB}=\boldsymbol{b}，用 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 表示 DE→=\overrightarrow{DE}=______；若 AB→⊥DE→\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{DE}，则 ∠ACB\angle ACB 的最大值为______.

2022 · 天津 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
设 a∈Ra\in\mathbf{R}，对任意实数 xx，记 f(x)f(x) 表示 ∣x∣−2|x|-2，x2−ax+3a−5x^2-ax+3a-5 中的较小者. 若函数 f(x)f(x) 至少有 3 个零点，则 aa 的取值范围为______.

2022 · 天津 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 a=6a=\sqrt{6}，b=2cb=2c，cos⁡A=−14\cos A=-\dfrac{1}{4}.
(1) 求 cc 的值； (2) 求 sin⁡B\sin B 的值； (3) 求 sin⁡(2A−B)\sin(2A-B) 的值.

2022 · 天津 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，AC⊥ABAC\perp AB，点 DD，EE，FF 分别为 A1B1A_1B_1，AA1AA_1，CDCD 的中点，AB=AC=AA1=2AB=AC=AA_1=2.
(1) 求证：EF∥EF\parallel 平面 ABCABC； (2) 求直线 BEBE 与平面 CC1DCC_1D 所成角的正弦值； (3) 求平面 A1CDA_1CD 与平面 CC1DCC_1D 所成二面角的余弦值.

2022 · 天津 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 为等差数列，{bn}\{b_n\} 为等比数列，且 a1=b1=a2−b2=a3−b3=1a_1=b_1=a_2-b_2=a_3-b_3=1.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，求证：(Sn+1+an+1)bn=Sn+1bn+1−Snbn\left(S_{n+1}+a_{n+1}\right)b_n=S_{n+1}b_{n+1}-S_nb_n； (3) 求 ∑k=12n[ak+1−(−1)kak]bk\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\left[a_{k+1}-(-1)^ka_k\right]b_k.

2022 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的右焦点为 FF，右顶点为 AA，上顶点为 BB，且满足 ∣BF∣∣AB∣=32\dfrac{|BF|}{|AB|}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
(1) 求椭圆的离心率 ee； (2) 直线 ll 与椭圆有唯一公共点 MM，与 yy 轴相交于 NN（NN 异于 MM）. 记 OO 为坐标原点，若 ∣OM∣=∣ON∣|OM|=|ON|，且 △OMN\triangle OMN 的面积为 3\sqrt{3}，求椭圆的标准方程.

2022 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，函数 f(x)=ex−asin⁡xf(x)=\mathrm{e}^x-a\sin x，g(x)=bxg(x)=b\sqrt{x}.
(1) 求函数 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 若 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 有公共点，
(i) 当 a=0a=0 时，求 bb 的取值范围； (ii) 求证：a2+b2>ea^2+b^2>\mathrm{e}.

2022 · 天津 · 第 20 题 · 解答题

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