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18
数列
★★★★☆
设
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
为等差数列，
{
b
n
}
\{b_n\}
{
b
n
}
为等比数列，且
a
1
=
b
1
=
a
2
−
b
2
=
a
3
−
b
3
=
1
a_1=b_1=a_2-b_2=a_3-b_3=1
a
1
=
b
1
=
a
2
−
b
2
=
a
3
−
b
3
=
1
.
(1) 求
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
和
{
b
n
}
\{b_n\}
{
b
n
}
的通项公式； (2) 记
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
的前
n
n
n
项和为
S
n
S_n
S
n
，求证：
(
S
n
+
1
+
a
n
+
1
)
b
n
=
S
n
+
1
b
n
+
1
−
S
n
b
n
\left(S_{n+1}+a_{n+1}\right)b_n=S_{n+1}b_{n+1}-S_nb_n
(
S
n
+
1
+
a
n
+
1
)
b
n
=
S
n
+
1
b
n
+
1
−
S
n
b
n
； (3) 求
∑
k
=
1
2
n
[
a
k
+
1
−
(
−
1
)
k
a
k
]
b
k
\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\left[a_{k+1}-(-1)^ka_k\right]b_k
k
=
1
∑
2
n
[
a
k
+
1
−
(
−
1
)
k
a
k
]
b
k
.
2022 · 天津 · 第 18 题 · 解答题
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