若焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{m} = 1$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$，则 $m =$（ ）

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = x^2$ 上异于坐标原点 $O$ 的两不同动点 $A$，$B$ 满足 $AO \perp BO$（如图所示）.

(1) 求 $\triangle AOB$ 的重心 $G$（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程； (2) $\triangle AOB$ 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

在平面直角坐标系中，已知矩形 $ABCD$ 的长为 $2$，宽为 $1$，$AB$，$AD$ 边分别在 $x$ 轴，$y$ 轴的正半轴上，$A$ 点与坐标原点重合（如图所示）. 将矩形折叠，使 $A$ 点落在线段 $DC$ 上.

(1) 若折痕所在直线的斜率为 $k$，试写出折痕所在直线的方程； (2) 求折痕的长的最大值.