在同一平面直角坐标系中，函数 $y = f(x)$ 和 $y = g(x)$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称. 现将 $y = g(x)$ 的图象沿 $x$ 轴向左平移 2 个单位，再沿 $y$ 轴向上平移 1 个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示），则函数 $f(x)$ 的表达式为（ ）

函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-\mathrm{e}^x}}$ 的定义域是______.

设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上满足 $f(2 - x) = f(2 + x)$，$f(7 - x) = f(7 + x)$，且在闭区间 $[0,7]$ 上，只有 $f(1) = f(3) = 0$.

(1) 试判断函数 $y = f(x)$ 的奇偶性； (2) 试求方程 $f(x) = 0$ 在闭区间 $[-2005, 2005]$ 上的根的个数，并证明你的结论.

在平面直角坐标系中，已知矩形 $ABCD$ 的长为 $2$，宽为 $1$，$AB$，$AD$ 边分别在 $x$ 轴，$y$ 轴的正半轴上，$A$ 点与坐标原点重合（如图所示）. 将矩形折叠，使 $A$ 点落在线段 $DC$ 上.

(1) 若折痕所在直线的斜率为 $k$，试写出折痕所在直线的方程； (2) 求折痕的长的最大值.