在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = x^2$ 上异于坐标原点 $O$ 的两不同动点 $A$，$B$ 满足 $AO \perp BO$（如图所示）.

(1) 求 $\triangle AOB$ 的重心 $G$（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程； (2) $\triangle AOB$ 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.