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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 M={x∣x2=x}M = \{x \mid x^2 = x\}，N={x∣lg⁡x⩽0}N = \{x \mid \lg x \leqslant 0\}，则 M∪N=M \cup N =（ ）
A.
[0,1][0,1]
B.
(0,1](0,1]
C.
[0,1)[0,1)
D.
(−∞,1](-\infty,1]

2015 · 陕西 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02概率与统计★☆☆☆☆
某中学初中部共有 110 名110\text{ 名}教师，高中部共有 150 名150\text{ 名}教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）
A.
9393
B.
123123
C.
137137
D.
167167

2015 · 陕西 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★☆☆☆☆
已知抛物线 y2=2pxy^{2}=2px（p>0p>0）的准线经过点 (−1,1)(-1,1)，则该抛物线焦点坐标为（ ）
A.
(−1,0)(-1,0)
B.
(1,0)(1,0)
C.
(0,−1)(0,-1)
D.
(0,1)(0,1)

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04函数与初等函数★☆☆☆☆
设
f(x)={1−x,x⩾0,2x,x<0,f(x) = \begin{cases} 1 - \sqrt{x}, & x \geqslant 0,\\ 2^x, & x < 0, \end{cases}
则 f(f(−2))=f(f(-2)) =（ ）
A.
−1-1
B.
14\frac{1}{4}
C.
12\frac{1}{2}
D.
32\frac{3}{2}

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05立体几何初步★★☆☆☆
一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A.
3π3\pi
B.
4π4\pi
C.
2π+42\pi + 4
D.
3π+43\pi + 4

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06集合与逻辑基础★★☆☆☆
“sin⁡α=cos⁡α\sin \alpha = \cos \alpha”是“cos⁡2α=0\cos 2\alpha = 0”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要

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07函数与初等函数★☆☆☆☆
根据框图，当输入 xx 为 66 时，输出的 y=y =（ ）
A.
11
B.
22
C.
55
D.
1010

2015 · 陕西 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★☆☆☆
对任意向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A.
∣a⋅b∣⩽∣a∣∣b∣|\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}| \leqslant |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|
B.
∣a−b∣⩽∣∣a∣−∣b∣∣|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| \leqslant ||\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}||
C.
(a+b)2=∣a+b∣2(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})^2 = |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|^2
D.
(a+b)⋅(a−b)=a2−b2(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})\cdot (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) = \boldsymbol{a}^2 - \boldsymbol{b}^2

2015 · 陕西 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★☆☆☆
设 f(x)=x−sin⁡xf(x) = x - \sin x，则 f(x)f(x)（ ）
A.
既是奇函数又是减函数
B.
既是奇函数又是增函数
C.
是有零点的减函数
D.
是没有零点的奇函数

2015 · 陕西 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10指数函数与对数函数★★★☆☆
设 f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x，0<a<b0 < a < b. 若 p=f(ab)p = f\left(\sqrt{ab}\right)，q=f(a+b2)q = f\left(\frac{a + b}{2}\right)，r=12(f(a)+f(b))r = \frac{1}{2}(f(a) + f(b))，则下列关系式中正确的是（ ）
A.
q=r<pq = r < p
B.
q=r>pq = r > p
C.
p=r<qp = r < q
D.
p=r>qp = r > q

2015 · 陕西 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11不等式★★★☆☆
某企业生产甲，乙两种产品均需用 A，B 两种原料，已知生产 1 吨1\text{ 吨}每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.
如果生产 1 吨1\text{ 吨}甲，乙产品可获利润分别为 3 万元3\text{ 万元}，4 万元4\text{ 万元}，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
A.
12 万元12\text{ 万元}
B.
16 万元16\text{ 万元}
C.
17 万元17\text{ 万元}
D.
18 万元18\text{ 万元}

2015 · 陕西 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12概率与统计★★★☆☆
设复数 z=(x−1)+yiz = (x - 1) + yi（xx，y∈Ry \in \mathbf{R}），若 ∣z∣⩽1|z| \leqslant 1，则 y⩾xy \geqslant x 的概率为（ ）
A.
34+12π\frac{3}{4} + \frac{1}{2\pi}
B.
12+1π\frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}
C.
14−12π\frac{1}{4} - \frac{1}{2\pi}
D.
12−1π\frac{1}{2} - \frac{1}{\pi}

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13数列★☆☆☆☆
中位数为 10101010 的一组数构成等差数列，其末项为 20152015，则该数列的首项为______.

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14三角函数★★☆☆☆
如图，某港口一天 6 时6\text{ 时}到 18 时18\text{ 时}的水深变化曲线近似满足函数 y=3sin⁡(π6x+φ)+ky = 3\sin \left(\frac{\pi}{6} x + \varphi\right) + k.
据此函数可知，这段时间水深（单位：m\mathrm{m}）的最大值为______.

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15导数及其应用★★☆☆☆
函数 y=xexy = x\mathrm{e}^{x} 在其极值点处的切线方程为______.

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16数列★★☆☆☆
观察下列等式：
1−12=12\displaystyle 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}；1−12+13−14=13+14\displaystyle 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4}；1−12+13−14+15−16=14+15+16\displaystyle 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}，⋯\cdots
据此规律，第 nn 个等式可为______.

2015 · 陕西 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 向量 m=(a,3b)\boldsymbol{m} = (a, \sqrt{3}b) 与 n=(cos⁡A,sin⁡B)\boldsymbol{n} = (\cos A, \sin B) 平行.
(1) 求 AA； (2) 若 a=7a = \sqrt{7}，b=2b = 2，求 △ABC\triangle ABC 的面积.

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18立体几何初步★★★☆☆
如图 1，在直角梯形 ABCDABCD 中，AD∥BCAD \parallel BC，∠BAD=π2\angle BAD = \frac{\pi}{2}，AB=BC=12AD=aAB = BC = \frac{1}{2}AD = a，EE 是 ADAD 的中点，OO 是 ACAC 与 BEBE 的交点. 将 △ABE\triangle ABE 沿 BEBE 折起到图 2 中 △A1BE\triangle A_{1}BE 的位置，得到四棱锥 A1−BCDEA_{1}-BCDE.
(1) 证明：CD⊥CD \perp 平面 A1OCA_{1}OC； (2) 若平面 A1BE⊥A_{1}BE \perp 平面 BCDEBCDE，四棱锥 A1−BCDEA_{1}-BCDE 的体积为 36236\sqrt{2}，求 aa 的值.
[c]{} [c]{}

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19概率与统计★★☆☆☆
随机抽取一个年份，对西安市该年 44 月份的天气情况进行统计，结果如下：
(1) 在 44 月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率； (2) 西安市某学校拟从 44 月份的一个晴天开始举行连续 22 天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.

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20解析几何★★★★☆
如图，椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）经过点 A(0,−1)A(0,-1)，且离心率为 22\frac{\sqrt{2}}{2}.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 经过点 (1,1)(1,1)，且斜率为 kk 的直线与椭圆 EE 交于不同的两点 PP，QQ（均异于点 AA），证明：直线 APAP 与 AQAQ 的斜率之和为 2.

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21导数及其应用★★★★☆
设 fn(x)=x+x2+⋯+xn−1f_{n}(x)=x+x^{2}+\cdots+x^{n}-1，x⩾0x \geqslant 0，n∈Nn \in \mathbf{N}，n⩾2n \geqslant 2.
(1) 求 fn′(2)f_{n}^{\prime}(2)； (2) 证明：fn(x)f_{n}(x) 在 (0,23)\left(0, \frac{2}{3}\right) 内有且仅有一个零点（记为 ana_{n}），且 0<an−12<13(23)n0 < a_{n} - \frac{1}{2} < \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.

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22解析几何★★★★☆
如图，ABAB 切 ⊙O\odot O 于点 BB，直线 AOAO 交 ⊙O\odot O 于 DD，EE 两点，BC⊥DEBC \perp DE，垂足为 CC.
(1) 证明：∠CBD=∠DBA\angle CBD = \angle DBA； (2) 若 AD=3DCAD = 3DC，BC=2BC = \sqrt{2}，求 ⊙O\odot O 的直径.

2015 · 陕西 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，直线 ll 的参数方程为
{x=3+12t,y=32t,\begin{cases} x = 3 + \frac{1}{2} t,\\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t, \end{cases}
（tt 为参数），以原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系. ⊙C\odot C 的极坐标方程为 ρ=23sin⁡θ\rho = 2\sqrt{3}\sin \theta.
(1) 写出 ⊙C\odot C 的直角坐标方程； (2) PP 为直线 ll 上一动点，当 PP 到圆心 CC 的距离最小时，求 PP 的直角坐标.

2015 · 陕西 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
已知关于 xx 的不等式 ∣x+a∣<b|x + a| < b 的解集为 {x∣2<x<4}\{x \mid 2 < x < 4\}.
(1) 求实数 aa，bb 的值； (2) 求 at+12+bt\sqrt{at+12}+\sqrt{bt} 的最大值.

2015 · 陕西 · 文 · 第 24 题 · 解答题

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