双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的顶点到其渐近线的距离等于（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 双曲线的顶点为 $(1,0)$ 和 $(-1,0)$，其渐近线为 $y=x$ 与 $y=-x$. 以顶点 $(1,0)$ 为例，到直线 $x-y=0$ 的距离为 另一个顶点所得距离相同，故选 B. \end{solution}

椭圆 $\Gamma: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，焦距为 $2c$. 若直线 $y = \sqrt{3}(x + c)$ 与椭圆 $\Gamma$ 的一个交点 $M$ 满足 $\angle MF_1F_2 = 2\angle MF_2F_1$，则该椭圆的离心率等于______.

\begin{answer} $\sqrt{3}-1$ \end{answer}

\begin{solution} 取左、右焦点分别为 $F_1=(-c,0)$、$F_2=(c,0)$. 直线 $y=\sqrt3(x+c)$ 经过 $F_1$，其向右上方的射线与 $x$ 轴正方向的夹角为 $60^\circ$. 若点 $M$ 在该直线的另一条射线上，则 $\angle MF_1F_2=120^\circ$，由题设得 $\angle MF_2F_1=60^\circ$，从而三角形在 $M$ 处的内角为 $0^\circ$，与三角形非退化矛盾. 因此 $M$ 在向右上方的射线上，从而 由题设 $\angle MF_1F_2=2\angle MF_2F_1$，得 $\angle MF_2F_1=30^\circ$，于是三角形 $MF_1F_2$ 在 $M$ 处为直角三角形. 因为 $F_1F_2=2c$，所以由 $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$ 三角形的边长关系，$MF_1=c$，$MF_2=\sqrt3c$.

点 $M$ 在椭圆上，故由椭圆定义 因此离心率 \end{solution}

如图，抛物线 $E: y^{2} = 4x$ 的焦点为 $F$，准线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $A$. 点 $C$ 在抛物线 $E$ 上. 以 $C$ 为圆心，$|CO|$ 为半径作圆，设圆 $C$ 与准线 $l$ 交于不同的两点 $M$，$N$.

(1) 若点 $C$ 的纵坐标为 2，求 $\left|MN\right|$； (2) 若 $\left|AF\right|^{2}=\left|AM\right|\cdot\left|AN\right|$，求圆 $C$ 的半径.

如图，在等腰直角 $\triangle OPQ$ 中，$\angle POQ = 90^{\circ}$，$OP = 2\sqrt{2}$，点 $M$ 在线段 $PQ$ 上.

(1) 若 $OM = \sqrt{5}$，求 $PM$ 的长； (2) 若点 $N$ 在线段 $MQ$ 上，且 $\angle MON = 30^{\circ}$，问：当 $\angle POM$ 取何值时，$\triangle OMN$ 的面积最小？ 并求出面积的最小值.