函数 $f(x) = \ln (x^2 + 1)$ 的图象大致是（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 函数的定义域为 $\mathbf{R}$，且 $f(-x)=\ln((-x)^2+1)=f(x)$，所以图象关于 $y$ 轴对称. 又 $x^2+1\geqslant1$，从而 $f(x)\geqslant0$，且仅在 $x=0$ 时取到最小值 $0$. 此外，$f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$，所以 $x>0$ 时函数递增，$x<0$ 时函数递减. 因此图象是关于 $y$ 轴对称、在原点处取最低点的曲线，对应选项 A. \end{solution}

已知函数 则 $f\left(f\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=\underline{\hspace{2em}}$.

\begin{answer} $-2$ \end{answer}

\begin{solution} 因为 $0\leqslant\frac\pi4<\frac\pi2$，所以 又因为 $-1<0$，应使用分段函数的第一段，故 \end{solution}

设 $S$，$T$ 是 $\mathbf{R}$ 的两个非空子集. 如果存在一个从 $S$ 到 $T$ 的函数 $y = f(x)$ 满足：

① $T = \{f(x)\mid x\in S\}$； ② 对任意 $x_{1}$，$x_{2} \in S$，当 $x_{1} < x_{2}$ 时，恒有 $f(x_{1}) < f(x_{2})$，

那么称这两个集合“保序同构”. 现给出以下 3 对集合：

① $A = \mathbf{N}$，$B = \mathbf{N}^{*};$ ② $A = \{x\mid -1\leqslant x\leqslant 3\}$，$B = \{x\mid -8\leqslant x\leqslant 10\}$； ③ $A = \{x \mid 0 < x < 1\}$，$B = \mathbf{R}$.

其中，“保序同构”的集合对的序号是______. （写出所有“保序同构”的集合对的序号）

\begin{answer} $\circled{1}\circled{2}\circled{3}$ \end{answer}

\begin{solution} 对第$\circled{1}$对集合，按 $\mathbf{N}=\{0,1,2,\ldots\}$、$\mathbf{N}^{*}=\{1,2,3,\ldots\}$ 取 $f(x)=x+1$. 该函数严格递增，且值域为 $\mathbf{N}^{*}$，所以第$\circled{1}$对保序同构.

对第$\circled{2}$对集合，取 它把 $[-1,3]$ 的两个端点分别映为 $-8,10$，并且斜率为正，所以严格递增且值域为 $[-8,10]$，第$\circled{2}$对保序同构.

对第$\circled{3}$对集合，取 $f(x)=\tan\left(\pi x-\frac\pi2\right)$，$0<x<1$. 该函数在 $(0,1)$ 上严格递增，且当 $x\to0^+$ 时 $f(x)\to-\infty$，当 $x\to1^-$ 时 $f(x)\to+\infty$，值域为 $\mathbf{R}$，所以第$\circled{3}$对也保序同构. 因此应填 $\circled{1}\circled{2}\circled{3}$. \end{solution}

已知函数 $f(x) = x - 1 + \frac{a}{\mathrm{e}^{x}}$（$a \in \mathbf{R}$，$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数）.

(1) 若曲线 $y = f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线平行于 $x$ 轴，求 $a$ 的值； (2) 求函数 $f(x)$ 的极值； (3) 当 $a = 1$ 时，若直线 $l: y = kx - 1$ 与曲线 $y = f(x)$ 没有公共点，求 $k$ 的最大值.