已知 $x$ 与 $y$ 之间的几组数据如下表：

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{b}x + \hat{a}$，若某同学根据上表中的前两组数据 $(1, 0)$ 和 $(2, 2)$ 求得的直线方程为 $y = b'x + a'$，则以下结论正确的是（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 由表中数据得 $\bar{x}=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac72$，$\bar{y}=\frac{0+2+1+3+3+4}{6}=\frac{13}{6}$. 于是 因此回归直线的斜率与截距分别为 $\hat b=\frac{\frac{25}{2}}{\frac{35}{2}}=\frac57$，$\hat a=\bar y-\hat b\bar x=\frac{13}{6}-\frac57\cdot\frac72=-\frac13$. 前两组数据确定的直线斜率、截距为 $b'=\frac{2-0}{2-1}=2$，$a'=-2$. 于是 $\hat b<b'$，$\hat a>a'$，故选 C. \end{solution}

利用计算机产生 $0 \sim 1$ 之间的均匀随机数 $a$，则事件“$3a - 1 < 0$”发生的概率为______.

\begin{answer} $\frac{1}{3}$ \end{answer}

\begin{solution} 由 $3a-1<0$ 得 $0\leqslant a<\frac13$. 随机数 $a$ 在区间 $[0,1]$ 上均匀分布，所以所求概率等于区间长度之比： \end{solution}

某工厂有 25 周岁以上（含 25 周岁）工人 300 名，25 周岁以下工人 200 名. 为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25 周岁以上（含 25 周岁）”和“25 周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组：$[50, 60)$，$[60, 70)$，$[70, 80)$，$[80, 90)$，$[90, 100]$ 分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

(1) 从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人，求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的概率； (2) 规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成 $2\times 2$ 列联表，并判断是否有 $90\%$ 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.

附：$\chi^2 = \frac{n(ad - bc)^2}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}$，$P\left\{\chi^{2} \geqslant k\right\}$

（注：此处公式也可以写成 $K^2 = \frac{n(ad - bc)^2}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}$）

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