阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数 $n$ 后，输出的 $S \in (10, 20)$，那么 $n$ 的值为（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 设循环执行 $j$ 次. 初始 $S=0$，每次循环把 $S$ 变为 $1+2S$，所以由递推可得 $S=2^j-1$；同时初始 $k=1$，每次循环后 $k$ 加 $1$，故执行 $j$ 次后 $k=j+1$. 程序在 $k>n$ 时停止，因此恰好执行 $n$ 次，输出 $S=2^n-1$. 由 得 $11<2^n<21$，所以 $n=4$，故选 B. \end{solution}

已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d = 1$，前 $n$ 项和为 $S_{n}$.

(1) 若 $1$，$a_{1}$，$a_{3}$ 成等比数列，求 $a_{1}$； (2) 若 $S_{5} > a_{1}a_{9}$，求 $a_{1}$ 的取值范围.