设直线 $l_1$，$l_2$ 分别是函数 图象上点 $P_1$，$P_2$ 处的切线，$l_1$ 与 $l_2$ 垂直相交于点 $P$，且 $l_1$，$l_2$ 分别与 $y$ 轴相交于点 $A$，$B$，则 $\triangle PAB$ 的面积的取值范围是（ ）

设函数 $f(x)=ax^2-a-\ln x$，$g(x)=\dfrac1x-\dfrac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}^x}$，其中 $a\in\mathbf{R}$，$\mathrm{e}=2.718\ldots$ 为自然对数的底数.

(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性； (2) 证明：当 $x>1$ 时，$g(x)>0$； (3) 确定 $a$ 的所有可能取值，使得 $f(x)>g(x)$ 在区间 $(1,+\infty)$ 内恒成立.