已知数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $1$，$S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，$S_{n+1}=qS_n+1$，其中 $q>0$，$n\in\mathbf{N}^*$.

(1) 若 $a_2$，$a_3$，$a_2+a_3$ 成等差数列，求 $\{a_n\}$ 的通项公式； (2) 设双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{a_n^2}=1$ 的离心率为 $e_n$，且 $e_2=2$，求 $e_1^2+e_2^2+\cdots+e_n^2$.