设函数 $f(x) = ax^3 + bx + c$（$a \neq 0$）为奇函数，其图象在点 $(1, f(1))$ 处的切线与直线 $x - 6y - 7 = 0$ 垂直，导函数 $f'(x)$ 的最小值为 $-12$.

(1) 求 $a$，$b$，$c$ 的值； (2) 求函数 $f(x)$ 的单调递增区间，并求函数 $f(x)$ 在 $[-1,3]$ 上的最大值和最小值.

已知函数 $f(x) = x^2 - 4$，设曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_n, f(x_n))$ 处的切线与 $x$ 轴的交点为 $(x_{n+1}, 0)$（$n \in \mathbf{N}^*$），其中 $x_1$ 为正实数.

(1) 用 $x_{n}$ 表示 $x_{n + 1}$； (2) 若 $x_{1} = 4$，记 $a_{n} = \lg \frac{x_{n} + 2}{x_{n} - 2}$，证明数列 $\{a_{n}\}$ 成等比数列，并求数列 $\{x_{n}\}$ 的通项公式； (3) 若 $x_{1} = 4$，$b_{n} = x_{n} - 2$，$T_{n}$ 是数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，证明 $T_{n} < 3$.