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01复数★☆☆☆☆
i\mathrm{i} 为虚数单位，则 (1+i1−i)2011=\left(\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\right)^{2011}=（ ）
A.
−i-\mathrm{i}
B.
−1-1
C.
i\mathrm{i}
D.
11

2011 · 湖北 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知 U={y∣y=log⁡2x,x>1}U=\{y\mid y=\log_2x,x>1\}，P={y∣y=1x,x>2}P=\left\{y\mid y=\dfrac{1}{x},x>2\right\}，则 ∁UP=\complement_U P=（ ）
A.
[12,+∞)\left[\dfrac{1}{2},+\infty\right)
B.
(0,12)\left(0,\dfrac{1}{2}\right)
C.
(0,+∞)(0,+\infty)
D.
(−∞,0)∪[12,+∞)\left(-\infty,0\right)\cup\left[\dfrac{1}{2},+\infty\right)

2011 · 湖北 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=3sin⁡x−cos⁡xf(x)=\sqrt{3}\sin x-\cos x，x∈Rx\in\mathbf{R}. 若 f(x)⩾1f(x)\geqslant1，则 xx 的取值范围为（ ）
A.
{x∣kπ+π3⩽x⩽kπ+π,k∈Z}\left\{x\mid k\pi+\dfrac{\pi}{3}\leqslant x\leqslant k\pi+\pi,k\in\mathbf{Z}\right\}
B.
{x∣2kπ+π3⩽x⩽2kπ+π,k∈Z}\left\{x\mid 2k\pi+\dfrac{\pi}{3}\leqslant x\leqslant2k\pi+\pi,k\in\mathbf{Z}\right\}
C.
{x∣kπ+π6⩽x⩽kπ+5π6,k∈Z}\left\{x\mid k\pi+\dfrac{\pi}{6}\leqslant x\leqslant k\pi+\dfrac{5\pi}{6},k\in\mathbf{Z}\right\}
D.
{x∣2kπ+π6⩽x⩽2kπ+5π6,k∈Z}\left\{x\mid 2k\pi+\dfrac{\pi}{6}\leqslant x\leqslant2k\pi+\dfrac{5\pi}{6},k\in\mathbf{Z}\right\}

2011 · 湖北 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★★★★☆
将两个顶点在抛物线 y2=2pxy^2=2px（p>0p>0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 nn，则（ ）
A.
n=0n=0
B.
n=1n=1
C.
n=2n=2
D.
n⩾3n\geqslant3

2011 · 湖北 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05概率与统计★★☆☆☆
已知随机变量 ξ\xi 服从正态分布 N(2,σ2)N(2,\sigma^2)，且 P(ξ<4)=0.8P(\xi<4)=0.8，则 P(0<ξ<2)=P(0<\xi<2)=（ ）
A.
0.60.6
B.
0.40.4
C.
0.30.3
D.
0.20.2

2011 · 湖北 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
已知定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数 f(x)f(x) 和偶函数 g(x)g(x) 满足 f(x)+g(x)=ax−a−x+2f(x)+g(x)=a^x-a^{-x}+2（a>0a>0，且 a≠1a\neq1）. 若 g(2)=ag(2)=a，则 f(2)=f(2)=（ ）
A.
22
B.
154\dfrac{15}{4}
C.
174\dfrac{17}{4}
D.
a2a^2

2011 · 湖北 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07概率与统计★★☆☆☆
如图，用 KK，A1A_{1}，A2A_{2} 三类不同的元件连接成一个系统. 当 KK 正常工作且 A1A_{1}，A2A_{2} 至少有一个正常工作时，系统正常工作. 已知 KK，A1A_{1}，A2A_{2} 正常工作的概率依次为 0.90.9，0.80.8，0.80.8，则系统正常工作的概率为（ ）
A.
0.9600.960
B.
0.8640.864
C.
0.7200.720
D.
0.5760.576

2011 · 湖北 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(x+z,3)\boldsymbol{a}=(x+z,3)，b=(2,y−z)\boldsymbol{b}=(2,y-z)，且 a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}. 若 xx，yy 满足不等式 ∣x∣+∣y∣⩽1|x|+|y|\leqslant1，则 zz 的取值范围为（ ）
A.
[−2,2][-2,2]
B.
[−2,3][-2,3]
C.
[−3,2][-3,2]
D.
[−3,3][-3,3]

2011 · 湖北 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09集合与逻辑基础★★★☆☆
若实数 aa，bb 满足 a⩾0a\geqslant0，b⩾0b\geqslant0，且 ab=0ab=0，则称 aa 与 bb 互补. 记 φ(a,b)=a2+b2−a−b\varphi(a,b)=\sqrt{a^2+b^2}-a-b，那么 φ(a,b)=0\varphi(a,b)=0 是 aa 与 bb 互补的（ ）
A.
必要而不充分条件
B.
充分而不必要条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2011 · 湖北 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★☆☆
放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变. 假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中，其含量 MM（单位：太贝克）与时间 tt（单位：年）满足函数关系：M(t)=M02−t30M(t)=M_0 2^{-\frac{t}{30}}，其中 M0M_0 为 t=0t=0 时铯 137 的含量. 已知 t=30t=30 时，铯 137 含量的变化率是 −10ln⁡2-10\ln2（太贝克/年），则 M(60)=M(60)=（ ）
A.
5 太贝克5\text{ 太贝克}
B.
75ln⁡2 太贝克75\ln2\text{ 太贝克}
C.
150ln⁡2 太贝克150\ln2\text{ 太贝克}
D.
150 太贝克150\text{ 太贝克}

2011 · 湖北 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x−13x)18\left(x-\dfrac{1}{3\sqrt{x}}\right)^{18} 的展开式中含 x15x^{15} 的项的系数为______.（结果用数值表示）

2011 · 湖北 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12概率与统计★★☆☆☆
在 3030 瓶饮料中，有 33 瓶已过了保质期. 从这 3030 瓶饮料中任取 22 瓶，则至少取到 11 瓶已过保质期饮料的概率为______.（结果用最简分数表示）

2011 · 湖北 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 99 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 44 节的容积共 3 升3\text{ 升}，下面 33 节的容积共 4 升4\text{ 升}，则第 55 节的容积为______升\text{升}.

2011 · 湖北 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
如图，直角坐标系 xOyxOy 所在的平面为 α\alpha，直角坐标系 x′Oy′x'Oy'（其中 y′y' 轴与 yy 轴重合）所在的平面为 β\beta，∠xOx′=45∘\angle xOx'=45^\circ.
(1) 已知平面 β\beta 内有一点 P′(22,2)P'\left(2\sqrt{2},2\right)，则点 P′P' 在平面 α\alpha 内的射影 PP 的坐标为______. (2) 已知平面 β\beta 内的曲线 C′C' 的方程是 (x′−2)2+2y′2−2=0\left(x'-\sqrt{2}\right)^2+2y'^2-2=0，则曲线 C′C' 在平面 α\alpha 内的射影 CC 的方程是______.

2011 · 湖北 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15数列★★★☆☆
给 nn 个自上而下相连的正方形着黑色或白色. 当 n⩽4n\leqslant4 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图所示：
由此推断，当 n=6n=6 时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有______ 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有______ 种.（结果用数值表示） {}

2011 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 a=1a=1，b=2b=2，cos⁡C=14\cos C=\dfrac{1}{4}.
(1) 求 △ABC\triangle ABC 的周长； (2) 求 cos⁡(A−C)\cos(A-C) 的值.

2011 · 湖北 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17函数与初等函数★★★☆☆
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况. 在一般情况下，大桥上的车流速度 vv（单位：千米/小时）是车流密度 xx（单位：辆/千米）的函数. 当桥上的车流密度达到 200 辆/千米200\text{ 辆/千米} 时，造成堵塞，此时车流速度为 00；当车流密度不超过 20 辆/千米20\text{ 辆/千米} 时，车流速度为 60 千米/小时60\text{ 千米/小时}；研究表明：当 20⩽x⩽20020\leqslant x\leqslant200 时，车流速度 vv 是车流密度 xx 的一次函数.
(1) 当 0⩽x⩽2000\leqslant x\leqslant200 时，求函数 v(x)v(x) 的表达式； (2) 当车流密度 xx 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f(x)=x⋅v(x)f(x)=x\cdot v(x) 可以达到最大，并求出最大值.（精确到 1 辆/小时1\text{ 辆/小时}）

2011 · 湖北 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，已知正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_{1}B_{1}C_{1} 的各棱长都是 44，EE 是 BCBC 的中点，动点 FF 在侧棱 CC1CC_{1} 上，且不与点 CC 重合.
(1) 当 CF=1CF=1 时，求证：EF⊥A1CEF\perp A_{1}C； (2) 设二面角 C−AF−EC-AF-E 的大小为 θ\theta，求 tan⁡θ\tan\theta 的最小值.

2011 · 湖北 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，且满足 a1=aa_1=a，a≠0a\neq0，an+1=rSna_{n+1}=rS_n，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，r∈Rr\in\mathbf{R}，r≠−1r\neq-1.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若存在 k∈N∗k\in\mathbf{N}^*，使得 Sk+1S_{k+1}，SkS_k，Sk+2S_{k+2} 成等差数列，试判断：对于任意的 m∈N∗m\in\mathbf{N}^*，且 m⩾2m\geqslant2，am+1a_{m+1}，ama_m，am+2a_{m+2} 是否成等差数列，并证明你的结论.

2011 · 湖北 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
平面内与两定点 A1(−a,0)A_{1}(-a,0)，A2(a,0)A_{2}(a,0)（a>0a>0）连线的斜率之积等于非零常数 mm 的点的轨迹，加上 A1A_{1}，A2A_{2} 两点所成的曲线 CC 可以是圆、椭圆或双曲线.
(1) 求曲线 CC 的方程，并讨论 CC 的形状与 mm 值的关系； (2) 当 m=−1m=-1 时，对应的曲线为 C1C_1；对给定的 m∈(−1,0)∪(0,+∞)m\in(-1,0)\cup(0,+\infty)，对应的曲线为 C2C_2. 设 F1F_1，F2F_2 是 C2C_2 的两个焦点. 试问：在 C1C_1 上，是否存在点 NN，使得 △F1NF2\triangle F_1NF_2 的面积 S=∣m∣a2S=|m|a^2？若存在，求 tan⁡∠F1NF2\tan\angle F_1NF_2 的值；若不存在，请说明理由.

2011 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
(1) 已知函数 f(x)=ln⁡x−x+1f(x)=\ln x-x+1，x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty)，求函数 f(x)f(x) 的最大值. (2) 设 aka_k，bkb_k（k=1k=1，22，…\dots，nn）均为正数，证明：
① 若 a1b1+a2b2+⋯+anbn⩽b1+b2+⋯+bna_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n\leqslant b_1+b_2+\dots+b_n，则 a1b1a2b2⋯anbn⩽1a_1^{b_1}a_2^{b_2}\cdots a_n^{b_n}\leqslant1； ② 若 b1+b2+⋯+bn=1b_1+b_2+\dots+b_n=1，则 1n⩽b1b1b2b2⋯bnbn⩽b12+b22+⋯+bn2\dfrac{1}{n}\leqslant b_1^{b_1}b_2^{b_2}\cdots b_n^{b_n}\leqslant b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2.

2011 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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