将两个顶点在抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 $n$，则（ ）

如图，直角坐标系 $xOy$ 所在的平面为 $\alpha$，直角坐标系 $x'Oy'$（其中 $y'$ 轴与 $y$ 轴重合）所在的平面为 $\beta$，$\angle xOx'=45^\circ$.

(1) 已知平面 $\beta$ 内有一点 $P'\left(2\sqrt{2},2\right)$，则点 $P'$ 在平面 $\alpha$ 内的射影 $P$ 的坐标为______. (2) 已知平面 $\beta$ 内的曲线 $C'$ 的方程是 $\left(x'-\sqrt{2}\right)^2+2y'^2-2=0$，则曲线 $C'$ 在平面 $\alpha$ 内的射影 $C$ 的方程是______.

平面内与两定点 $A_{1}(-a,0)$，$A_{2}(a,0)$（$a>0$）连线的斜率之积等于非零常数 $m$ 的点的轨迹，加上 $A_{1}$，$A_{2}$ 两点所成的曲线 $C$ 可以是圆、椭圆或双曲线.

(1) 求曲线 $C$ 的方程，并讨论 $C$ 的形状与 $m$ 值的关系； (2) 当 $m=-1$ 时，对应的曲线为 $C_1$；对给定的 $m\in(-1,0)\cup(0,+\infty)$，对应的曲线为 $C_2$. 设 $F_1$，$F_2$ 是 $C_2$ 的两个焦点. 试问：在 $C_1$ 上，是否存在点 $N$，使得 $\triangle F_1NF_2$ 的面积 $S=|m|a^2$？若存在，求 $\tan\angle F_1NF_2$ 的值；若不存在，请说明理由.