如图，已知正三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 的各棱长都是 $4$，$E$ 是 $BC$ 的中点，动点 $F$ 在侧棱 $CC_{1}$ 上，且不与点 $C$ 重合.

(1) 当 $CF=1$ 时，求证：$EF\perp A_{1}C$； (2) 设二面角 $C-AF-E$ 的大小为 $\theta$，求 $\tan\theta$ 的最小值.