已知向量 $\boldsymbol{a}=(x+z,3)$，$\boldsymbol{b}=(2,y-z)$，且 $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$. 若 $x$，$y$ 满足不等式 $|x|+|y|\leqslant1$，则 $z$ 的取值范围为（ ）

平面内与两定点 $A_{1}(-a,0)$，$A_{2}(a,0)$（$a>0$）连线的斜率之积等于非零常数 $m$ 的点的轨迹，加上 $A_{1}$，$A_{2}$ 两点所成的曲线 $C$ 可以是圆、椭圆或双曲线.

(1) 求曲线 $C$ 的方程，并讨论 $C$ 的形状与 $m$ 值的关系； (2) 当 $m=-1$ 时，对应的曲线为 $C_1$；对给定的 $m\in(-1,0)\cup(0,+\infty)$，对应的曲线为 $C_2$. 设 $F_1$，$F_2$ 是 $C_2$ 的两个焦点. 试问：在 $C_1$ 上，是否存在点 $N$，使得 $\triangle F_1NF_2$ 的面积 $S=|m|a^2$？若存在，求 $\tan\angle F_1NF_2$ 的值；若不存在，请说明理由.