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01复数★☆☆☆☆
i\mathrm{i} 是虚数单位，复数 3+i1−i=\frac{3 + \mathrm{i}}{1 - \mathrm{i}} =（ ）
A.
1+2i1 + 2\mathrm{i}
B.
2+4i2 + 4\mathrm{i}
C.
−1−2i-1 - 2\mathrm{i}
D.
2−i2 - \mathrm{i}

2010 · 天津 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02不等式★★☆☆☆
设变量 xx，yy 满足约束条件
{x+y⩽3,x−y⩾−1,y⩾1.\begin{cases} x + y \leqslant 3,\\ x - y \geqslant -1,\\ y \geqslant 1. \end{cases}
， 则目标函数 z=4x+2yz = 4x + 2y 的最大值为（ ）
A.
1212
B.
1010
C.
88
D.
22

2010 · 天津 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
阅读下面的程序框图，若输出 ss 的值为 −7-7，则判断框内可填写（ ）
A.
−1-1
B.
00
C.
11
D.
33

2010 · 天津 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=ex+x−2f(x) = \mathrm{e}^{x} + x - 2 的零点所在的一个区间是（ ）
A.
(−2,−1)(-2,-1)
B.
(−1,0)(-1,0)
C.
(0,1)(0,1)
D.
(1,2)(1,2)

2010 · 天津 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05集合与逻辑基础★★☆☆☆
下列命题中，真命题是（ ）
A.
∃m∈R\exists m \in \mathbf{R}，使函数 f(x)=x2+mxf(x) = x^{2} + mx（x∈Rx \in \mathbf{R}）是偶函数
B.
∃m∈R\exists m \in \mathbf{R}，使函数 f(x)=x2+mxf(x) = x^{2} + mx（x∈Rx \in \mathbf{R}）是奇函数
C.
∀m∈R\forall m \in \mathbf{R}，使函数 f(x)=x2+mxf(x) = x^{2} + mx（x∈Rx \in \mathbf{R}）是偶函数
D.
∀m∈R\forall m \in \mathbf{R}，使函数 f(x)=x2+mxf(x) = x^{2} + mx（x∈Rx \in \mathbf{R}）是奇函数

2010 · 天津 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
设 a=log⁡54a = \log_{5} 4，b=(log⁡53)2b = (\log_{5} 3)^{2}，c=log⁡45c = \log_{4} 5，则（ ）
A.
a<c<ba < c < b
B.
b<c<ab < c < a
C.
a<b<ca < b < c
D.
b<a<cb < a < c

2010 · 天津 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07集合与逻辑基础★★☆☆☆
设集合 A={x∣∣x−a∣<1, x∈R}A = \{x \mid |x - a| < 1,\ x \in \mathbf{R}\}，B={x∣1<x<5, x∈R}B = \{x \mid 1 < x < 5,\ x \in \mathbf{R}\}. 若 A∩B=∅A \cap B = \varnothing，则实数 aa 的取值范围是（ ）
A.
{a∣0⩽a⩽6}\{a \mid 0 \leqslant a \leqslant 6\}
B.
{a∣a⩽2 或 a⩾4}\{a \mid a \leqslant 2\text{ 或 }a \geqslant 4\}
C.
{a∣a⩽0 或 a⩾6}\{a \mid a \leqslant 0\text{ 或 }a \geqslant 6\}
D.
{a∣2⩽a⩽4}\{a \mid 2 \leqslant a \leqslant 4\}

2010 · 天津 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★★★☆☆
如图是函数 y=Asin⁡(ωx+φ)y = A \sin (\omega x + \varphi) （x∈Rx \in \mathbf{R}）在区间 [−π6,5π6]\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right] 上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将 y=sin⁡xy = \sin x （x∈Rx \in \mathbf{R}）的图象上所有的点（ ）
A.
向左平移 π3\frac{\pi}{3} 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 12\frac{1}{2} 倍，纵坐标不变
B.
向左平移 π3\frac{\pi}{3} 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变
C.
向左平移 π6\frac{\pi}{6} 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 12\frac{1}{2} 倍，纵坐标不变
D.
向左平移 π6\frac{\pi}{6} 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变

2010 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09平面向量★★★☆☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，AD⊥ABAD \perp AB，BC→=3BD→\overrightarrow{BC} = \sqrt{3}\overrightarrow{BD}，∣AD→∣=1|\overrightarrow{AD}| = 1，则 AC→⋅AD→=\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} =（ ）
A.
232\sqrt{3}
B.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
C.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
D.
3\sqrt{3}

2010 · 天津 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★☆☆
设函数 g(x)=x2−2g(x) = x^{2} - 2 （x∈Rx \in \mathbf{R}），
f(x)={g(x)+x+4,x<g(x),g(x)−x,x⩾g(x),f(x) = \begin{cases} g(x) + x + 4, & x < g(x),\\ g(x) - x, & x \geqslant g(x), \end{cases}
， 则 f(x)f(x) 的值域是（ ）
A.
[−94,0]∪(1,+∞)\left[-\frac{9}{4}, 0\right] \cup (1, +\infty)
B.
[0,+∞)[0, +\infty)
C.
[−94,+∞)\left[-\frac{9}{4}, +\infty\right)
D.
[−94,0]∪(2,+∞)\left[-\frac{9}{4}, 0\right] \cup (2, +\infty)

2010 · 天津 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11立体几何初步★★☆☆☆
如图，四边形 ABCDABCD 是圆 OO 的内接四边形，延长 ABAB 和 DCDC 相交于点 PP. 若 PB=1PB = 1，PD=3PD = 3，则 BCAD\frac{BC}{AD} 的值为______.

2010 · 天津 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12立体几何初步★★☆☆☆
一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______.

2010 · 天津 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>0a > 0， b>0\ b > 0） 的一条渐近线方程是 y=3xy = \sqrt{3}x，它的一个焦点与抛物线 y2=16xy^2 = 16x 的焦点相同. 则双曲线的方程为______.

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14解析几何★★☆☆☆
已知圆 CC 的圆心是直线 x−y+1=0x - y + 1 = 0 与 xx 轴的交点，且圆 CC 与直线 x+y+3=0x + y + 3 = 0 相切，则圆 CC 的方程为______.

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15数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是等比数列，公比 q=2q = \sqrt{2}. SnS_n 为 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 记 Tn=17Sn−S2nan+1T_n = \frac{17S_n - S_{2n}}{a_{n+1}}， n∈N∗\ n \in \mathbf{N}^{*}. 设 Tn0T_{n_0} 为数列 {Tn}\{T_n\} 的最大项，则 n0=‾n_0 =\underline{\hspace{2em}}.

2010 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16不等式★★★★☆
设函数 f(x)=x−1xf(x) = x - \frac{1}{x}，对任意 x∈[1,+∞)x \in [1,+\infty)，f(mx)+mf(x)<0f(mx) + mf(x) < 0 恒成立，则实数 mm 的取值范围是______.

2010 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，ACAB=cos⁡Bcos⁡C\frac{AC}{AB} = \frac{\cos B}{\cos C}.
(1) 证明：B=CB = C； (2) 若 cos⁡A=−13\cos A = -\frac{1}{3}，求 sin⁡(4B+π3)\sin \left(4B + \frac{\pi}{3}\right) 的值.

2010 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆
有编号为 A1A_1，A2A_2，⋯\cdots，A10A_{10} 的 10 个零件，测量其直径（单位：cm\mathrm{cm}），得到下面数据：
其中直径在区间 [1.48,1.52][1.48,1.52] 内的零件为一等品.
(1) 从上述 10 个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (2) 从一等品零件中，随机抽取 2 个.
(i) 用零件的编号列出所有可能的抽取结果； (ii) 求这 2 个零件直径相等的概率.

2010 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在五面体 ABCDEFABCDEF 中，四边形 ADEFADEF 是正方形，FA⊥FA \perp 平面 ABCDABCD，BC∥ADBC \parallel AD，CD=1CD = 1，AD=22AD = 2\sqrt{2}，∠BAD=∠CDA=45∘\angle BAD = \angle CDA = 45^\circ.
(1) 求异面直线 CECE 与 AFAF 所成角的余弦值； (2) 证明 CD⊥CD \perp 平面 ABFABF； (3) 求二面角 B−EF−AB - EF - A 的正切值.

2010 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax3−32x2+1f(x) = ax^3 - \frac{3}{2}x^2 + 1 （x∈Rx \in \mathbf{R}），其中 a>0a > 0.
(1) 若 a=1a = 1，求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (2,f(2))(2,f(2)) 处的切线方程； (2) 若在区间 [−12,12]\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] 上，f(x)>0f(x) > 0 恒成立，求 aa 的取值范围.

2010 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0） 的离心率 e=32e = \frac{\sqrt{3}}{2}，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设直线 ll 与椭圆相交于不同的两点 AA，BB，已知点 AA 的坐标为 (−a,0)(-a,0).
(i) 若 ∣AB∣=425|AB| = \frac{4\sqrt{2}}{5}，求直线 ll 的倾斜角； (ii) 若点 Q(0,y0)Q(0,y_0) 在线段 ABAB 的垂直平分线上，且 QA→⋅QB→=4\overrightarrow{QA} \cdot \overrightarrow{QB} = 4. 求 y0y_0 的值.

2010 · 天津 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★★
在数列 {an}\{a_n\} 中，a1=0a_1 = 0，且对任意 k∈N∗k \in \mathbf{N}^{*}，a2k−1a_{2k-1}，a2ka_{2k}，a2k+1a_{2k+1} 成等差数列，其公差为 2k2k.
(1) 证明 a4a_4，a5a_5，a6a_6 成等比数列； (2) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (3) 记 Tn=22a2+32a3+⋯+n2anT_n = \frac{2^2}{a_2} + \frac{3^2}{a_3} + \cdots + \frac{n^2}{a_n}，证明 32<2n−Tn⩽2\frac{3}{2} < 2n - T_n \leqslant 2（n⩾2n \geqslant 2）.

2010 · 天津 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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