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15
数列
★★★★☆
设
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
是等比数列，公比
q
=
2
q = \sqrt{2}
q
=
2
.
S
n
S_n
S
n
为
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
的前
n
n
n
项和. 记
T
n
=
17
S
n
−
S
2
n
a
n
+
1
T_n = \frac{17S_n - S_{2n}}{a_{n+1}}
T
n
=
a
n
+
1
17
S
n
−
S
2
n
，
n
∈
N
∗
\ n \in \mathbf{N}^{*}
n
∈
N
∗
. 设
T
n
0
T_{n_0}
T
n
0
为数列
{
T
n
}
\{T_n\}
{
T
n
}
的最大项，则
n
0
=
‾
n_0 =\underline{\hspace{2em}}
n
0
=
.
2010 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 填空题
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22
数列
★★★★★
在数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
中，
a
1
=
0
a_1 = 0
a
1
=
0
，且对任意
k
∈
N
∗
k \in \mathbf{N}^{*}
k
∈
N
∗
，
a
2
k
−
1
a_{2k-1}
a
2
k
−
1
，
a
2
k
a_{2k}
a
2
k
，
a
2
k
+
1
a_{2k+1}
a
2
k
+
1
成等差数列，其公差为
2
k
2k
2
k
.
(1) 证明
a
4
a_4
a
4
，
a
5
a_5
a
5
，
a
6
a_6
a
6
成等比数列； (2) 求数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
的通项公式； (3) 记
T
n
=
2
2
a
2
+
3
2
a
3
+
⋯
+
n
2
a
n
T_n = \frac{2^2}{a_2} + \frac{3^2}{a_3} + \cdots + \frac{n^2}{a_n}
T
n
=
a
2
2
2
+
a
3
3
2
+
⋯
+
a
n
n
2
，证明
3
2
<
2
n
−
T
n
⩽
2
\frac{3}{2} < 2n - T_n \leqslant 2
2
3
<
2
n
−
T
n
⩽
2
（
n
⩾
2
n \geqslant 2
n
⩾
2
）.
2010 · 天津 · 文 · 第 22 题 · 解答题
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