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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知全集 U={x∣−3<x<3}U=\{x\mid -3<x<3\}，集合 A={x∣−2<x≤1}A=\{x\mid -2<x\le 1\}，则 CUA=C_UA=（ ）.
A.
(−2,1](-2,1]
B.
(−3,−2)∪[1,3)(-3,-2)\cup[1,3)
C.
[−2,1)[-2,1)
D.
(−3,−2]∪(1,3)(-3,-2]\cup(1,3)

2022 · 北京 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
若复数 zz 满足 iz=3−4i\mathrm{i} z=3-4\mathrm{i}，则 ∣z∣=|z|=（ ）.
A.
1
B.
5
C.
7
D.
25

2022 · 北京 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★☆☆☆☆
若直线 2x+y−1=02x+y-1=0 是圆 (x−a)2+y2=1(x-a)^2+y^2=1 的一条对称轴，则 a=a=（ ）.
A.
12\frac12
B.
−12-\frac12
C.
1
D.
−1-1

2022 · 北京 · 第 3 题 · 选择题

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=11+2xf(x)=\dfrac{1}{1+2^x}，则对任意实数 xx，有（ ）.
A.
f(−x)+f(x)=0f(-x)+f(x)=0
B.
f(−x)−f(x)=0f(-x)-f(x)=0
C.
f(−x)+f(x)=1f(-x)+f(x)=1
D.
f(−x)−f(x)=13f(-x)-f(x)=\frac13

2022 · 北京 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡2x−sin⁡2xf(x)=\cos^2x-\sin^2x，则（ ）.
A.
f(x)f(x) 在 (−π2,−π6)\left(-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{6}\right) 上单调递减
B.
f(x)f(x) 在 (−π4,π12)\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{12}\right) 上单调递增
C.
f(x)f(x) 在 (0,π3)\left(0,\frac{\pi}{3}\right) 上单调递减
D.
f(x)f(x) 在 (π4,7π12)\left(\frac{\pi}{4},\frac{7\pi}{12}\right) 上单调递增

2022 · 北京 · 第 5 题 · 选择题

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06集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 {an}\{a_n\} 是公差不为 0 的无穷等差数列，则“{an}\{a_n\} 为递增数列”是“存在正整数 N0N_0，当 n>N0n>N_0 时，an>0a_n>0”的（ ）.
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2022 · 北京 · 第 6 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献. 如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 TT 和 lg⁡P\lg P 的关系，其中 TT 表示温度，单位是 K\mathrm{K}；PP 表示压强，单位是 bar\mathrm{bar}. 下列结论中正确的是（ ）.
A.
当 T=220T=220，P=1026P=1026 时，二氧化碳处于液态
B.
当 T=270T=270，P=128P=128 时，二氧化碳处于气态
C.
当 T=300T=300，P=9987P=9987 时，二氧化碳处于超临界状态
D.
当 T=360T=360，P=729P=729 时，二氧化碳处于超临界状态

2022 · 北京 · 第 7 题 · 选择题

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08计数原理与组合数学★★★☆☆
若 (2x−1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0(2x-1)^4=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0，则 a0+a2+a4=a_0+a_2+a_4=（ ）.
A.
40
B.
41
C.
−40-40
D.
−41-41

2022 · 北京 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
已知正三棱锥 P−ABCP-ABC 的六条棱长均为 6，SS 是 △ABC\triangle ABC 及其内部的点构成的集合. 设集合 T={Q∈S∣PQ≤5}T=\{Q\in S\mid PQ\le 5\}，则 TT 表示的区域的面积为（ ）.
A.
3π4\frac{3\pi}{4}
B.
π\pi
C.
2π2\pi
D.
3π3\pi

2022 · 北京 · 第 9 题 · 选择题

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10平面向量★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AC=3AC=3，BC=4BC=4，∠C=90∘\angle C=90^\circ. PP 为 △ABC\triangle ABC 所在平面内的动点，且 PC=1PC=1，则 PA→⋅PB→\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB} 的取值范围是（ ）.
A.
[−5,3][-5,3]
B.
[−3,5][-3,5]
C.
[−6,4][-6,4]
D.
[−4,6][-4,6]

2022 · 北京 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=1x+1−xf(x)=\dfrac{1}{x}+\sqrt{1-x} 的定义域是______.

2022 · 北京 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 y2+x2m=1y^2+\dfrac{x^2}{m}=1 的渐近线方程为 y=±33xy=\pm \dfrac{\sqrt3}{3}x，则 m=m=______.

2022 · 北京 · 第 12 题 · 填空题

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13三角函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=Asin⁡x−3cos⁡xf(x)=A\sin x-\sqrt3\cos x 的一个零点为 π3\dfrac{\pi}{3}，则 A=A=______；f(π12)=f\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=______.

2022 · 北京 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
设函数
f(x)={−ax+1,x<a,(x−2)2,x≥af(x)=\begin{cases} -ax+1,&x<a,\\ \left(x-2\right)^2,&x\ge a \end{cases}
，若 f(x)f(x) 存在最小值，则 aa 的一个取值为______；aa 的最大值为______.

2022 · 北京 · 第 14 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 各项均为正数，其前 nn 项和 SnS_n 满足 anSn=9a_nS_n=9（n=1n=1，22，…\dots）. 给出下列四个结论：
① {an}\{a_n\} 的第 2 项小于 3； ② {an}\{a_n\} 为等比数列； ③ {an}\{a_n\} 为递减数列； ④ {an}\{a_n\} 中存在小于 1100\dfrac{1}{100} 的项.
其中所有正确结论的序号是______.

2022 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，sin⁡2C=3sin⁡C\sin 2C=\sqrt3\sin C.
(1) 求 ∠C\angle C； (2) 若 b=6b=6，且 △ABC\triangle ABC 的面积为 636\sqrt3，求 △ABC\triangle ABC 的周长.

2022 · 北京 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，侧面 BCC1B1BCC_1B_1 为正方形，平面 BCC1B1⊥BCC_1B_1\perp 平面 ABB1A1ABB_1A_1，AB=BC=2AB=BC=2，MM，NN 分别为 A1B1A_1B_1，ACAC 的中点.
(1) 求证：MN∥MN\parallel 平面 BCC1B1BCC_1B_1； (2) 再从下列两个条件中选择一个作为已知，求直线 ABAB 与平面 BMNBMN 所成角的正弦值.
① AB⊥MNAB\perp MN； ② BM=MNBM=MN.

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18概率与统计★★★☆☆
在校运动会上，只有甲，乙，丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 9.50 m9.50\text{ m} 以上（含 9.50 m9.50\text{ m}）的同学将获得优秀奖. 为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲，乙，丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m\mathrm{m}）：
甲：9.809.80，9.709.70，9.559.55，9.549.54，9.489.48，9.429.42，9.409.40，9.359.35，9.309.30，9.259.25；
乙：9.789.78，9.569.56，9.519.51，9.369.36，9.329.32，9.239.23；
丙：9.859.85，9.659.65，9.209.20，9.169.16.
假设用频率估计概率，且甲，乙，丙的比赛成绩相互独立.
(1) 估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2) 设 XX 是甲，乙，丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 XX 的数学期望 E(X)E(X)； (3) 在校运动会铅球比赛中，甲，乙，丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）.

2022 · 北京 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的一个顶点为 A(0,1)A(0,1)，焦距为 232\sqrt3.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 过点 P(−2,1)P(-2,1) 作斜率为 kk 的直线与椭圆 EE 交于不同的两点 BB，CC，直线 ABAB，ACAC 分别与 xx 轴交于点 MM，NN. 当 ∣MN∣=2|MN|=2 时，求 kk 的值.

2022 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=exln⁡(1+x)f(x)=\mathrm{e}^x\ln(1+x).
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 设 g(x)=f′(x)g(x)=f'(x)，讨论函数 g(x)g(x) 在 [0,+∞)[0,+\infty) 上的单调性； (3) 证明：对任意的 ss，t∈(0,+∞)t\in(0,+\infty)，有 f(s+t)>f(s)+f(t)f(s+t)>f(s)+f(t).

2022 · 北京 · 第 20 题 · 解答题

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21计数原理与组合数学★★★★★
已知 Q:a1Q:a_1，a2a_2，…\dots，aka_k 为有穷整数数列. 给定正整数 mm，若对任意的 n∈{1,2,…,m}n\in\{1,2,\dots,m\}，在 QQ 中存在 aia_i，ai+1a_{i+1}，…\dots，ai+ja_{i+j}（j≥0j\ge 0），使得 ai+ai+1+⋯+ai+j=na_i+a_{i+1}+\dots+a_{i+j}=n，则称 QQ 为 mm-连续可表数列.
(1) 判断 Q:2Q:2，11，44 是否为 5-连续可表数列？是否为 6-连续可表数列？说明理由； (2) 若 Q:a1Q:a_1，a2a_2，…\dots，aka_k 为 8-连续可表数列，求证：kk 的最小值为 4； (3) 若 Q:a1Q:a_1，a2a_2，…\dots，aka_k 为 20-连续可表数列，且 a1+a2+⋯+ak<20a_1+a_2+\dots+a_k<20，求证：k≥7k\ge 7.

2022 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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