已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x\ln(1+x)$.

(1) 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程； (2) 设 $g(x)=f'(x)$，讨论函数 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上的单调性； (3) 证明：对任意的 $s$，$t\in(0,+\infty)$，有 $f(s+t)>f(s)+f(t)$.