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01三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=∣sin⁡x+cos⁡x∣f(x) = |\sin x + \cos x| 的最小正周期是（ ）
A.
π4\frac{\pi}{4}
B.
π2\frac{\pi}{2}
C.
π\pi
D.
2π2\pi

2005 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02立体几何初步★★★☆☆
正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，PP，QQ，RR 分别是 ABAB，ADAD，B1C1B_{1}C_{1} 的中点. 那么，正方体的过 PP，QQ，RR 的截面图形是（ ）
A.
三角形
B.
四边形
C.
五边形
D.
六边形

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03函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=x2−13y = \sqrt[3]{x^2 - 1}（x⩽0x \leqslant 0）的反函数是（ ）
A.
y=(x+1)3y = \sqrt{(x + 1)^3}（x⩾−1x \geqslant -1）
B.
y=−(x+1)3y = -\sqrt{(x + 1)^3}（x⩾−1x \geqslant -1）
C.
y=(x+1)3y = \sqrt{(x + 1)^3}（x⩾0x \geqslant 0）
D.
y=−(x+1)3y = -\sqrt{(x + 1)^3}（x⩾0x \geqslant 0）

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04三角函数★★☆☆☆
已知函数 y=tan⁡ωxy = \tan \omega x 在 (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) 内是减函数，则（ ）
A.
0<ω⩽10 < \omega \leqslant 1
B.
−1⩽ω<0-1 \leqslant \omega < 0
C.
ω⩾1\omega \geqslant 1
D.
ω⩽−1\omega \leqslant -1

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05复数★★☆☆☆
设 aa，bb，cc，d∈Rd \in \mathbf{R}，若 a+bic+di\frac{a + b\mathrm{i}}{c + d\mathrm{i}} 为实数，则（ ）
A.
bc+ad≠0b c + a d \neq 0
B.
bc−ad≠0bc - ad \neq 0
C.
bc−ad=0bc - ad = 0
D.
bc+ad=0bc + ad = 0

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06解析几何★★★☆☆
已知双曲线 x26−y23=1\frac{x^2}{6} - \frac{y^2}{3} = 1 的焦点为 F1F_1，F2F_2，点 MM 在双曲线上且 MF1⊥xMF_1 \perp x 轴，则 F1F_1 到直线 F2MF_2M 的距离为（ ）
A.
365\frac{3\sqrt{6}}{5}
B.
566\frac{5\sqrt{6}}{6}
C.
65\frac{6}{5}
D.
56\frac{5}{6}

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07三角函数★★★☆☆
锐角三角形的内角 AA，BB 满足 tan⁡A−1sin⁡2A=tan⁡B\tan A - \frac{1}{\sin 2A} = \tan B，则有（ ）
A.
sin⁡2A−cos⁡B=0\sin 2A - \cos B = 0
B.
sin⁡2A+cos⁡B=0\sin 2A + \cos B = 0
C.
sin⁡2A−sin⁡B=0\sin 2A - \sin B = 0
D.
sin⁡2A+sin⁡B=0\sin 2A + \sin B = 0

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08平面向量★★★☆☆
已知点 A(3,1)A(\sqrt{3}, 1)，B(0,0)B(0, 0)，C(3,0)C(\sqrt{3}, 0). 设 ∠BAC\angle BAC 的平分线 AEAE 与 BCBC 相交于 EE，那么有 BC→=λCE→\overrightarrow{BC} = \lambda \overrightarrow{CE}，其中 λ\lambda 等于（ ）
A.
22
B.
12\frac{1}{2}
C.
−3-3
D.
−13-\frac{1}{3}

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09集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知集合 M={x∣x2−3x−28⩽0}M = \{x \mid x^2 - 3x - 28 \leqslant 0\}，N={x∣x2−x−6>0}N = \{x \mid x^2 - x - 6 > 0\}，则 M∩NM \cap N 为（ ）
A.
{x∣−4⩽x<−2 或 3<x⩽7}\left\{x\mid -4\leqslant x < -2\text{\ 或\ }3 < x\leqslant 7\right\}
B.
{x∣−4<x⩽−2 或 3⩽x<7}\left\{x\mid -4 < x\leqslant -2\text{\ 或\ }3\leqslant x < 7\right\}
C.
{x∣x⩽−2 或 x>3}\left\{x\mid x\leqslant -2\text{\ 或\ }x > 3\right\}
D.
{x∣x<−2 或 x⩾3}\left\{x\mid x < -2\text{\ 或\ }x\geqslant 3\right\}

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10平面向量★☆☆☆☆
点 PP 在平面上作匀速直线运动，速度向量 v=(4,−3)\boldsymbol{v}=(4,-3)（即点 PP 的运动方向与 v\boldsymbol{v} 相同，且每秒移动的距离为 ∣v∣|\boldsymbol{v}| 个单位）. 设开始时点 PP 的坐标为 (−10,10)(-10,10)，则 55 秒后点 PP 的坐标为（ ）
A.
(−2,4)(-2, 4)
B.
(−30,25)(-30, 25)
C.
(10,−5)(10, -5)
D.
(5,−10)(5, -10)

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11数列★★☆☆☆
如果 a1a_{1}，a2a_{2}，⋯\cdots，a8a_{8} 为各项都大于零的等差数列，公差 d≠0d \neq 0，则（ ）
A.
a1a8>a4a5a_{1}a_{8} > a_{4}a_{5}
B.
a1a8<a4a5a_{1}a_{8} < a_{4}a_{5}
C.
a1+a8>a4+a5a_{1} + a_{8} > a_{4} + a_{5}
D.
a1a8=a4a5a_{1}a_{8} = a_{4}a_{5}

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12立体几何初步★★★★★
将半径都为 11 的 44 个铅球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高最小值为（ ）
A.
3+263\frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{6}}{3}
B.
2+2632 + \frac{2\sqrt{6}}{3}
C.
4+2634 + \frac{2\sqrt{6}}{3}
D.
43+263\frac{4\sqrt{3} + 2\sqrt{6}}{3}

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13解析几何★☆☆☆☆
圆心为 (1,2)(1,2) 且与直线 5x−12y−7=05x - 12y - 7 = 0 相切的圆的方程为______.

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14三角函数★★★☆☆
设 α\alpha 为第四象限的角，若 sin⁡3αsin⁡α=135\frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha} = \frac{13}{5}，则 tan⁡2α=\tan 2\alpha =______.

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
在由数字 00，11，22，33，44，55 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被 55 整除的数共有______ 个.

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16立体几何初步★★★★☆
下面是关于三棱锥的四个命题：
① 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥； ② 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③ 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥； ④ 侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.
其中，真命题的编号是______. （写出所有真命题的编号）

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17不等式★★☆☆☆
设函数 f(x)=2∣x+1∣−∣x−1∣f(x) = 2^{|x + 1| - |x - 1|}，求使 f(x)⩾22f(x) \geqslant 2\sqrt{2} 的 xx 的取值范围.

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18数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是各项均为正数的等差数列，lg⁡a1\lg a_1，lg⁡a2\lg a_2，lg⁡a4\lg a_4 成等差数列. 又 bn=1a2nb_{n} = \frac{1}{a_{2^n}}，n=1n = 1，22，33，⋯\cdots.
(1) 证明 {bn}\{b_{n}\} 为等比数列； (2) 如果无穷等比数列 {bn}\{b_{n}\} 各项的和 S=13S = \frac{1}{3}，求数列 {an}\{a_{n}\} 的首项 a1a_{1} 和公差 dd.
注：无穷数列各项的和即当 n→∞n \to \infty 时数列前 nn 项和的极限.

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19概率与统计★★★☆☆
甲，乙两队进行一场排球比赛. 根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.60.6. 本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束. 各局比赛相互间没有影响. 令 ξ\xi 为本场比赛的局数. 求 ξ\xi 的概率分布和数学期望. （精确到 0.00010.0001）

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20立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，底面 ABCDABCD 为矩形，PD⊥PD \perp 底面 ABCDABCD，AD=PDAD = PD，EE，FF 分别为 CDCD，PBPB 的中点.
(1) 求证：EF⊥EF \perp 平面 PABPAB； (2) 设 AB=2BCAB = \sqrt{2}BC，求 ACAC 与平面 AEFAEF 所成的角的大小.

2005 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
PP，QQ，MM，NN 四点都在椭圆 x2+y22=1x^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1 上，FF 为椭圆在 yy 轴正半轴上的焦点. 已知 PF→\overrightarrow{PF} 与 FQ→\overrightarrow{FQ} 共线，MF→\overrightarrow{MF} 与 FN→\overrightarrow{FN} 共线，且 PF→⋅MF→=0\overrightarrow{PF} \cdot \overrightarrow{MF} = 0. 求四边形 PMQNPMQN 的面积的最小值和最大值.

2005 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知 a⩾0a \geqslant 0，函数 f(x)=(x2−2ax)exf(x) = (x^2 - 2ax)\mathrm{e}^x.
(1) 当 xx 为何值时，f(x)f(x) 取得最小值？ 证明你的结论； (2) 设 f(x)f(x) 在 [−1,1][-1,1] 上是单调函数，求 aa 的取值范围.

2005 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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