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01集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知集合 A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\}，B={(x,y)∣x∈A,y∈A,x−y∈A}B = \{(x, y) \mid x \in A, y \in A, x - y \in A\}，则 BB 中所含元素的个数为（ ）
A.
33
B.
66
C.
88
D.
1010

2012 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02计数原理与组合数学★★☆☆☆
将 22 名教师，44 名学生分成 22 个小组，分别安排到甲，乙两地参加社会实践活动，每个小组由 11 名教师和 22 名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
A.
12 种12\text{ 种}
B.
10 种10\text{ 种}
C.
9 种9\text{ 种}
D.
8 种8\text{ 种}

2012 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03复数★☆☆☆☆
下面是关于复数 z=2−1+iz = \frac{2}{-1 + \mathrm{i}} 的四个命题：p1:∣z∣=2p_1: |z| = 2，p2:z2=2ip_2: z^2 = 2\mathrm{i}；p3:zp_3: z 的共轭复数为 1+i1 + \mathrm{i}；p4:zp_4: z 的虚部为 −1-1. 其中的真命题为（ ）
A.
p2p_{2}，p3p_{3}
B.
p1p_{1}，p2p_{2}
C.
p2p_{2}，p4p_{4}
D.
p3p_{3}，p4p_{4}

2012 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★★★☆☆
设 F1F_{1}，F2F_{2} 是椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（a>b>0a > b > 0）的左，右焦点，PP 为直线 x=3a2x = \frac{3a}{2} 上一点，△F2PF1\triangle F_{2}PF_{1} 是底角为 30∘30^{\circ} 的等腰三角形，则 EE 的离心率为（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
23\frac{2}{3}
C.
34\frac{3}{4}
D.
45\frac{4}{5}

2012 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 为等比数列，a4+a7=2a_{4} + a_{7} = 2，a5a6=−8a_{5}a_{6} = -8，则 a1+a10=a_{1} + a_{10} =（ ）
A.
77
B.
55
C.
−5-5
D.
−7-7

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06数列★★☆☆☆
如果执行下面的程序框图，输入正整数 NN（N⩾2N \geqslant 2）和实数 a1a_{1}，a2a_{2}，⋯\cdots，aNa_{N}，输出 AA，BB，则（ ）
A.
A+BA + B 为 a1a_{1}，a2a_{2}，⋯\cdots，aNa_{N} 的和
B.
A+B2\frac{A + B}{2} 为 a1a_1，a2a_2，…\dots，aNa_N 的算术平均数
C.
AA 和 BB 分别是 a1a_{1}，a2a_{2}，…\dots，aNa_{N} 中最大的数和最小的数
D.
AA 和 BB 分别是 a1a_{1}，a2a_{2}，…\dots，aNa_{N} 中最小的数和最大的数

2012 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★☆☆☆
如图，网格上小正方形的边长为 11，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A.
66
B.
99
C.
1212
D.
1818

2012 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★☆☆☆
等轴双曲线 CC 的中心在原点，焦点在 xx 轴上，CC 与抛物线 y2=16xy^{2} = 16x 的准线交于 AA，BB 两点，∣AB∣=43|AB| = 4\sqrt{3}，则 CC 的实轴长为（ ）
A.
2\sqrt{2}
B.
222\sqrt{2}
C.
44
D.
88

2012 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09三角函数★★★☆☆
已知 ω>0\omega > 0，函数 f(x)=sin⁡(ωx+π4)f(x) = \sin \left(\omega x + \frac{\pi}{4}\right) 在 (π2,π)\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) 单调递减，则 ω\omega 的取值范围是（ ）
A.
[12,54]\left[\frac{1}{2}, \frac{5}{4}\right]
B.
[12,34]\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right]
C.
(0,12]\left(0, \frac{1}{2}\right]
D.
(0,2](0, 2]

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10函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=1ln⁡(x+1)−xf(x) = \frac{1}{\ln (x + 1) - x}，则 y=f(x)y = f(x) 的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

2012 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11立体几何初步★★★☆☆
已知三棱锥 S−ABCS - ABC 的所有顶点都在球 OO 的球面上，△ABC\triangle ABC 是边长为 11 的正三角形，SCSC 为球 OO 的直径，且 SC=2SC = 2，则此棱锥的体积为（ ）
A.
26\frac{\sqrt{2}}{6}
B.
36\frac{\sqrt{3}}{6}
C.
23\frac{\sqrt{2}}{3}
D.
22\frac{\sqrt{2}}{2}

2012 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
设点 PP 在曲线 y=12exy = \frac{1}{2} \mathrm{e}^{x} 上，点 QQ 在曲线 y=ln⁡(2x)y = \ln (2x) 上，则 ∣PQ∣|PQ| 的最小值为（ ）
A.
1−ln⁡21 - \ln 2
B.
2 (1−ln⁡2)\sqrt{2}\,(1 - \ln 2)
C.
1+ln⁡21 + \ln 2
D.
2 (1+ln⁡2)\sqrt{2}\,(1 + \ln 2)

2012 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 夹角为 45∘45^{\circ}，且 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}| = 1，∣2a−b∣=10|2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = \sqrt{10}，则 ∣b∣=‾|\boldsymbol{b}| =\underline{\hspace{2em}}.

2012 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
设 xx，yy 满足约束条件
{x−y⩾−1,x+y⩽3,x⩾0,y⩾0,\begin{cases} x - y \geqslant -1,\\ x + y \leqslant 3,\\ x \geqslant 0,\\ y \geqslant 0, \end{cases}
则 z=x−2yz = x - 2y 的取值范围为______.

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15概率与统计★★★☆☆
某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件 11 或元件 22 正常工作，且元件 33 正常工作，则部件正常工作. 设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 N(1000,502)N(1000, 50^{2})，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过 10001000 小时的概率为______.

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16数列★★★★☆
数列 {an}\{a_{n}\} 满足 an+1+(−1)nan=2n−1a_{n + 1} + (-1)^n a_n = 2n - 1，则 {an}\{a_n\} 的前 6060 项和为______.

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17三角函数★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 分别为 △ABC\triangle ABC 三个内角 AA，BB，CC 的对边，acos⁡C+3asin⁡C−b−c=0a \cos C + \sqrt{3} a \sin C - b - c = 0.
(1) 求 AA； (2) 若 a=2a = 2，△ABC\triangle ABC 的面积为 3\sqrt{3}，求 bb，cc.

2012 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某花店每天以每枝 55 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 1010 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(1) 若花店一天购进 1616 枝玫瑰花，求当天的利润 yy（单位：元）关于当天需求量 nn（单位：枝，n∈Nn \in \mathbf{N}）的函数解析式； (2) 花店记录了 100100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以 100100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
(i) 若花店一天购进 1616 枝玫瑰花，XX 表示当天的利润（单位：元），求 XX 的分布列，数学期望及方差； (ii) 若花店计划一天购进 1616 枝或 1717 枝玫瑰花，你认为应购进 1616 枝还是 1717 枝？请说明理由.

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19立体几何初步★★★★☆
如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，AC=BC=12AA1AC = BC = \frac{1}{2} AA_{1}，DD 是棱 AA1AA_{1} 的中点，DC1⊥BDDC_{1} \perp BD.
(1) 证明：DC1⊥BCDC_{1} \perp BC； (2) 求二面角 A1−BD−C1A_{1} - BD - C_{1} 的大小.

2012 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
设抛物线 C:x2=2pyC: x^{2} = 2py（p>0p > 0）的焦点为 FF，准线为 ll，AA 为 CC 上一点，已知以 FF 为圆心，FAFA 为半径的圆 FF 交 ll 于 BB，DD 两点.
(1) 若 ∠BFD=90∘\angle BFD = 90^{\circ}，△ABD\triangle ABD 的面积为 424\sqrt{2}，求 pp 的值及圆 FF 的方程； (2) 若 AA，BB，FF 三点在同一直线 mm 上，直线 nn 与 mm 平行，且 nn 与 CC 只有一个公共点，求坐标原点到 mm，nn 距离的比值.

2012 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 满足 f(x)=f′(1)ex−1−f(0)x+12x2f(x) = f'(1)\mathrm{e}^{x-1} - f(0)x + \frac{1}{2}x^2.
(1) 求 f(x)f(x) 的解析式及单调区间； (2) 若 f(x)⩾12x2+ax+bf(x) \geqslant \frac{1}{2}x^2 + ax + b，求 (a+1)b(a + 1)b 的最大值.

2012 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
如图，DD，EE 分别为 △ABC\triangle ABC 边 ABAB，ACAC 的中点，直线 DEDE 交 △ABC\triangle ABC 的外接圆于 FF，GG 两点. 若 CF∥ABCF \parallel AB，证明：
(1) CD=BCCD = BC； (2) △BCD∼△GBD\triangle BCD \sim \triangle GBD.

2012 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★★☆
已知曲线 C1C_1 的参数方程是
{x=2cos⁡φ,y=3sin⁡φ,\begin{cases} x = 2\cos \varphi,\\ y = 3\sin \varphi, \end{cases}
（φ\varphi 是参数）以坐标原点为极点，xx 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程是 ρ=2\rho = 2，正方形 ABCDABCD 的顶点都在 C2C_2 上，且 AA，BB，CC，DD 依逆时针次序排列，点 AA 的极坐标为 (2,π3)\left(2, \frac{\pi}{3}\right).
(1) 求点 AA，BB，CC，DD 的直角坐标； (2) 设 PP 为 C1C_1 上任意一点，求 ∣PA∣2+∣PB∣2+∣PC∣2+∣PD∣2|PA|^2 + |PB|^2 + |PC|^2 + |PD|^2 的取值范围.

2012 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x+a∣+∣x−2∣f(x) = |x + a| + |x - 2|.
(1) 当 a=−3a = -3 时，求不等式 f(x)⩾3f(x) \geqslant 3 的解集； (2) 若 f(x)⩽∣x−4∣f(x) \leqslant |x - 4| 的解集包含 [1,2][1, 2]，求 aa 的取值范围.

2012 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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