已知圆锥的底面半径为 $R$，高为 $3R$，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）

一个四面体的所有棱长都为 $\sqrt{2}$，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

在平面几何里，有勾股定理：“设 $\triangle ABC$ 的两边 $AB$，$AC$ 互相垂直，则 $AB^2 + AC^2 = BC^2$.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥 $A-BCD$ 的三个侧面 $ABC$，$ACD$，$ADB$ 两两互相垂直，则______.”

已知正四棱柱 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$，$AB = 1$，$AA_{1} = 2$，$E$ 为 $CC_{1}$ 中点，$F$ 为 $BD_{1}$ 中点.

(1) 证明：$EF$ 为 $BD_{1}$ 与 $CC_{1}$ 的公垂线； (2) 求点 $D_{1}$ 到面 $BDE$ 的距离.