已知等比数列 $\{a_n\}$（$a_n \in \mathbf{R}$），$a_1 + a_2 = 9$，$a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = 27$，且 $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$（$n = 1$，$2$，$\cdots$），则 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n =$______.

设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n = na + n(n - 1)b$（$n = 1$，$2$，$\cdots$），$a$，$b$ 是常数且 $b \neq 0$.

(1) 证明 $\{a_n\}$ 是等差数列. (2) 证明以 $\left(a_n, \frac{S_n}{n} - 1\right)$ 为坐标的点 $P_n$（$n = 1$，$2$，$\cdots$）都落在同一条直线上，并写出此直线的方程. (3) 设 $a = 1$，$b = \frac{1}{2}$，$C$ 是以 $(r,r)$ 为圆心，$r$ 为半径的圆（$r > 0$）. 求使得点 $P_1$，$P_2$，$P_3$ 都落在圆 $C$ 外时，$r$ 的取值范围.