函数 $y = \log_{2}(x + 2)$ 的定义域是______.

设 $f^{-1}(x)$ 为函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 的反函数，下列结论正确的是（ ）

函数 $f(x)=x^{-\frac{1}{2}}$ 的大致图像是（ ）

既是偶函数又在区间 $(0, \pi)$ 上单调递减的函数是（ ）

如图，某校有一块形如直角三角形 $ABC$ 的空地，其中 $\angle B$ 为直角，$AB$ 长 $40\text{ 米}$，$BC$ 长 $50\text{ 米}$，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且 $B$ 为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积.

已知真命题：“函数 $y = f(x)$ 的图像关于点 $P(a, b)$ 成中心对称图形”的充要条件为“函数 $y = f(x + a) - b$ 是奇函数”.

(1) 将函数 $g(x)=x^{3}-3x^{2}$ 的图像向左平移 $1$ 个单位，再向上平移 $2$ 个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数 $g(x)$ 图像对称中心的坐标； (2) 求函数 $h(x)=\log_{2}\frac{2x}{4-x}$ 图像对称中心的坐标； (3) 已知命题：“函数 $y = f(x)$ 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数 $a$ 和 $b$，使得函数 $y = f(x + a) - b$ 是偶函数”. 判断该命题的真假. 如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）.