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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={1,3,5,7,9}A = \{1, 3, 5, 7, 9\}，B={0,3,6,9,12}B = \{0, 3, 6, 9, 12\}，则 A∩B=A \cap B =（ ）
A.
{3,5}\{3, 5\}
B.
{3,6}\{3,6\}
C.
{3,7}\{3,7\}
D.
{3,9}\{3,9\}

2009 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
复数 3+2i2−3i=\frac{3 + 2\mathrm{i}}{2 - 3\mathrm{i}} =（ ）
A.
11
B.
−1-1
C.
i\mathrm{i}
D.
−i-\mathrm{i}

2009 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03概率与统计★☆☆☆☆
对变量 xx，yy 有观测数据 (xi,yi)(x_{i}, y_{i})（i=1i = 1，22，…\dots，1010），得散点图 1；对变量 uu，vv 有观测数据 (ui,vi)(u_{i}, v_{i})（i=1i = 1，22，…\dots，1010），得散点图 2. 由这两个散点图可以判断（ ）
A.
变量 xx 与 yy 正相关，uu 与 vv 正相关
B.
变量 xx 与 yy 正相关，uu 与 vv 负相关
C.
变量 xx 与 yy 负相关，uu 与 vv 正相关
D.
变量 xx 与 yy 负相关，uu 与 vv 负相关

2009 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
有四个关于三角函数的命题：
① p1p_{1}：∃x∈R\exists x \in \mathbf{R}，sin⁡2x2+cos⁡2x2=12\sin^{2}\frac{x}{2} + \cos^{2}\frac{x}{2} = \frac{1}{2}； ② p2p_{2}：∃x\exists x，y∈Ry \in \mathbf{R}，sin⁡(x−y)=sin⁡x−sin⁡y\sin(x - y) = \sin x - \sin y； ③ p3p_{3}：∀x∈[0,π]\forall x \in [0,\pi]，1−cos⁡2x2=sin⁡x\sqrt{\frac{1 - \cos 2x}{2}} = \sin x； ④ p4p_{4}：sin⁡x=cos⁡y⇒x+y=π2\sin x = \cos y \Rightarrow x + y = \frac{\pi}{2}.
其中假命题的是（ ）
A.
p1p_1，p4p_4
B.
p2p_{2}，p4p_{4}
C.
p1p_1，p3p_3
D.
p2p_2，p3p_3

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05解析几何★★☆☆☆
已知圆 C1:(x+1)2+(y−1)2=1C_1: (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 1，圆 C2C_2 与圆 C1C_1 关于直线 x−y−1=0x - y - 1 = 0 对称，则圆 C2C_2 的方程为（ ）
A.
(x+2)2+(y−2)2=1(x + 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 1
B.
(x−2)2+(y+2)2=1(x - 2)^{2} + (y + 2)^{2} = 1
C.
(x+2)2+(y+2)2=1(x + 2)^{2} + (y + 2)^{2} = 1
D.
(x−2)2+(y−2)2=1(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 1

2009 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06不等式★★★☆☆
设 xx，yy 满足
{2x+y⩾4,x−y⩾−1,x−2y⩽2,\begin{cases} 2x + y \geqslant 4,\\ x - y \geqslant -1,\\ x - 2y \leqslant 2, \end{cases}
则 z=x+yz = x + y（ ）
A.
有最小值 22，最大值 33
B.
有最小值 22，无最大值
C.
有最大值 33，无最小值
D.
既无最小值，也无最大值

2009 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07平面向量★☆☆☆☆
已知 a=(−3,2)\boldsymbol{a} = (-3, 2)，b=(−1,0)\boldsymbol{b} = (-1, 0)，向量 λa+b\lambda \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} 与 a−2b\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b} 垂直，则实数 λ\lambda 的值为（ ）
A.
−17-\frac{1}{7}
B.
17\frac{1}{7}
C.
−16-\frac{1}{6}
D.
16\frac{1}{6}

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08数列★★★☆☆
等差数列 {an}\{a_{n}\} 前 nn 项和为 SnS_{n}. 已知 am−1+am+1−am2=0a_{m-1} + a_{m+1} - a_{m}^{2} = 0，S2m−1=38S_{2m-1} = 38，则 m=m =（ ）
A.
3838
B.
2020
C.
1010
D.
99

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09立体几何初步★★★★☆
如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的棱长为 11，线段 B1D1B_{1}D_{1} 上有两个动点 EE，FF，且 EF=22EF = \frac{\sqrt{2}}{2}，则下列结论中错误的是（ ）
A.
AC⊥BEAC \perp BE
B.
EF∥EF \parallel 平面 ABCDABCD
C.
三棱锥 A−BEFA - BEF 的体积为定值
D.
异面直线 AEAE，BFBF 所成的角为定值

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10函数与初等函数★★☆☆☆
如果执行如图的程序框图，输入 x=−2x = -2，h=0.5h = 0.5，那么输出的各个数的和等于（ ）
A.
33
B.
3.53.5
C.
44
D.
4.54.5

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11立体几何初步★★★☆☆
一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2\mathrm{cm}^2）为（ ）
A.
48+12248 + 12\sqrt{2}
B.
48+24248 + 24\sqrt{2}
C.
36+12236 + 12\sqrt{2}
D.
36+24236 + 24\sqrt{2}

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12函数与初等函数★★★☆☆
用 min⁡{a,b,c}\min \{a, b, c\} 表示 aa，bb，cc 三个数中的最小值. 设 f(x)=min⁡{2x,x+2,10−x}f(x) = \min \{2^x, x + 2, 10 - x\}（x⩾0x \geqslant 0），则 f(x)f(x) 的最大值为（ ）
A.
44
B.
55
C.
66
D.
77

2009 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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13导数及其应用★★☆☆☆
曲线 y=xex+2x+1y = x \mathrm{e}^{x} + 2x + 1 在点 (0,1)(0,1) 处的切线方程为______.

2009 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
已知抛物线 CC 的顶点坐标为原点，焦点在 xx 轴上，直线 y=xy = x 与抛物线 CC 交于 AA，BB 两点，若 P(2,2)P(2, 2) 为 ABAB 的中点，则抛物线 CC 的方程为______.

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15数列★★☆☆☆
等比数列 ana_{n} 的公比 q>0q > 0，已知 a2=1a_{2} = 1，an+2+an+1=6ana_{n+2} + a_{n+1} = 6a_{n}，则 ana_{n} 的前 44 项和 S4=S_{4} =______.

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16三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=2sin⁡(ωx+φ)f(x)=2\sin(\omega x+\varphi) 的图象如图所示，则 f(7π12)=f\left(\frac{7\pi}{12}\right)=______.

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17平面向量★★★☆☆
如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 AA，BB，CC 三点进行测量，已知 AB=50 mAB = 50 \mathrm{~m}，BC=120 mBC = 120 \mathrm{~m}，于 AA 处测得水深 AD=80 mAD = 80 \mathrm{~m}，于 BB 处测得水深 BE=200 mBE = 200 \mathrm{~m}，于 CC 处测得水深 CF=110 mCF = 110 \mathrm{~m}，求 ∠DEF\angle DEF 的余弦值.

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 P−ABCP - ABC 中，△PAB\triangle PAB 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90∘\angle PAC = \angle PBC = 90^{\circ}.
(1) 求证：AB⊥PCAB \perp PC； (2) 若 PC=4PC = 4，且平面 PAC⊥PAC \perp 平面 PBCPBC，求三棱锥 P−ABCP - ABC 体积.

2009 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某工厂有工人 10001000 名，其中 250250 名工人参加过短期培训（称为 A 类工人），另外 750750 名工人参加过长期培训（称为 B 类工人）. 现用分层抽样方法（按 A 类，B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查 100100 名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）.
(1) 求甲，乙两工人都被抽到的概率，其中甲为 A 类工人，乙为 B 类工人； (2) 从 A 类工人中的抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2.
表 1：
表 2：
(i) 先确定 xx，yy，再完成下列频率分布直方图. 就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论） (ii) 分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数. （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

2009 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★☆☆
已知椭圆 CC 的中心为直角坐标系 xOyxOy 的原点，焦点在 xx 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 77 和 11.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 若 PP 为椭圆 CC 上的动点，MM 为过 PP 且垂直于 xx 轴的直线上的点，∣OP∣∣OM∣=e\frac{|OP|}{|OM|} = e（ee 为椭圆 CC 的离心率），求点 MM 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3−3ax2−9a2x+a3f(x) = x^3 - 3ax^2 - 9a^2x + a^3.
(1) 设 a=1a = 1，求函数 f(x)f(x) 的极值； (2) 若 a>14a > \frac{1}{4}，且当 x∈[1,4a]x \in [1, 4a] 时，∣f′(x)∣⩽12a|f'(x)| \leqslant 12a 恒成立，试确定 aa 的取值范围.

2009 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22立体几何初步★★★★☆
如图，已知 △ABC\triangle ABC 的两条角平分线 ADAD 和 CECE 相交于 HH，∠B=60∘\angle B = 60^{\circ}，FF 在 ACAC 上，且 AE=AFAE = AF.
(1) 证明：BB，DD，HH，EE 四点共圆； (2) 证明：CECE 平分 ∠DEF\angle DEF.

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23解析几何★★★☆☆
已知曲线 C1C_1：
{x=−4+cos⁡t,y=3+sin⁡t,\begin{cases} x = -4 + \cos t,\\ y = 3 + \sin t, \end{cases}
（tt 为参数），C2C_2：
{x=8cos⁡θ,y=3sin⁡θ.\begin{cases} x = 8\cos \theta,\\ y = 3\sin \theta. \end{cases}
（θ\theta 为参数）.
(1) 化 C1C_1，C2C_2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2) 若 C1C_1 上的点 PP 对应的参数为 t=π2t = \frac{\pi}{2}，QQ 为 C2C_2 上的动点，求 PQPQ 中点 MM 到直线 C3C_3：
{x=3+2t,y=−2+t,\begin{cases} x = 3 + 2t,\\ y = -2 + t, \end{cases}
（tt 为参数）距离的最小值.

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24不等式★★★☆☆
如图，OO 为数轴的原点，AA，BB，MM 为数轴上三点，CC 为线段 OMOM 上的动点，设 xx 表示 CC 与原点的距离，yy 表示 CC 到 AA 距离 44 倍与 CC 到 BB 距离的 66 倍的和.
(1) 将 yy 表示成 xx 的函数； (2) 要使 yy 的值不超过 7070，xx 应该在什么范围内取值？

2009 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 24 题 · 解答题

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