设函数 $f(x)=(x-1)^3-ax-b$（$x\in\mathbf{R}$，其中 $a$，$b\in\mathbf{R}$）.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 若 $f(x)$ 存在极值点 $x_0$，且 $f(x_1)=f(x_0)$，其中 $x_1\neq x_0$，求证：$x_1+2x_0=3$； (3) 设 $a>0$，函数 $g(x)=\lvert f(x)\rvert$，求证：$g(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值不小于 $\dfrac14$.