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08
函数与初等函数
★★★★★
已知函数
f
(
x
)
=
{
x
2
+
(
4
a
−
3
)
x
+
3
a
,
x
<
0
,
log
a
(
x
+
1
)
+
1
,
x
≥
0
,
f(x)=\begin{cases} x^2+(4a-3)x+3a,&x<0,\\ \log_a(x+1)+1,&x\ge 0, \end{cases}
f
(
x
)
=
{
x
2
+
(
4
a
−
3
)
x
+
3
a
,
lo
g
a
(
x
+
1
)
+
1
,
x
<
0
,
x
≥
0
,
（
a
>
0
a>0
a
>
0
，且
a
≠
1
a\neq1
a
=
1
）在
R
\mathbf{R}
R
上单调递减，且关于
x
x
x
的方程
∣
f
(
x
)
∣
=
2
−
x
\lvert f(x)\rvert=2-x
∣
f
(
x
)∣
=
2
−
x
恰好有两个不相等的实数解，则
a
a
a
的取值范围是（ ）
A.
(
0
,
2
3
]
\left(0,\dfrac23\right]
(
0
,
3
2
]
B.
[
2
3
,
3
4
]
\left[\dfrac23,\dfrac34\right]
[
3
2
,
4
3
]
C.
[
1
3
,
2
3
]
∪
{
3
4
}
\left[\dfrac13,\dfrac23\right]\cup\left\{\dfrac34\right\}
[
3
1
,
3
2
]
∪
{
4
3
}
D.
[
1
3
,
2
3
)
∪
{
3
4
}
\left[\dfrac13,\dfrac23\right)\cup\left\{\dfrac34\right\}
[
3
1
,
3
2
)
∪
{
4
3
}
2016 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题
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13
函数与初等函数
★★★☆☆
已知
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
是定义在
R
\mathbf{R}
R
上的偶函数，且在区间
(
−
∞
,
0
)
(-\infty,0)
(
−
∞
,
0
)
上单调递增. 若实数
a
a
a
满足
f
(
2
∣
a
−
1
∣
)
>
f
(
−
2
)
f\left(2^{\lvert a-1\rvert}\right)>f\left(-\sqrt2\right)
f
(
2
∣
a
−
1
∣
)
>
f
(
−
2
)
，则
a
a
a
的取值范围是______.
2016 · 天津 · 理 · 第 13 题 · 填空题
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19
解析几何
★★★★★
设椭圆
x
2
a
2
+
y
2
3
=
1
\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{3}=1
a
2
x
2
+
3
y
2
=
1
（
a
>
3
a>\sqrt3
a
>
3
）的右焦点为
F
F
F
，右顶点为
A
A
A
，已知
1
∣
O
F
∣
+
1
∣
O
A
∣
=
3
e
∣
F
A
∣
\dfrac1{\lvert OF\rvert}+\dfrac1{\lvert OA\rvert}=\dfrac{3e}{\lvert FA\rvert}
∣
O
F
∣
1
+
∣
O
A
∣
1
=
∣
F
A
∣
3
e
，其中
O
O
O
为原点，
e
e
e
为椭圆的离心率.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设过点
A
A
A
的直线
l
l
l
与椭圆交于点
B
B
B
（
B
B
B
不在
x
x
x
轴上），垂直于
l
l
l
的直线与
l
l
l
交于点
M
M
M
，与
y
y
y
轴交于点
H
H
H
. 若
B
F
⊥
H
F
BF\perp HF
B
F
⊥
H
F
，且
∠
M
O
A
≤
∠
M
A
O
\angle MOA\le\angle MAO
∠
M
O
A
≤
∠
M
A
O
，求直线
l
l
l
的斜率的取值范围.
2016 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题
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