已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的焦距为 $10$，点 $P(2,1)$ 在 $C$ 的渐近线上，则 $C$ 的方程为（ ）

在直角坐标系 $xOy$ 中，已知曲线 （$t$ 为参数）与曲线 （$\theta$ 为参数，$a>0$）有一个公共点在 $x$ 轴上，则 $a=$______.

如图，过点 $P$ 的直线与 $\odot O$ 相交于 $A$，$B$ 两点. 若 $PA=1$，$AB=2$，$PO=3$，则 $\odot O$ 的半径等于______.

在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_1$ 上的点均在圆 $C_2:(x-5)^2+y^2=9$ 外，且对 $C_1$ 上任意一点 $M$，$M$ 到直线 $x=-2$ 的距离等于该点与圆 $C_2$ 上点的距离的最小值.

(1) 求曲线 $C_1$ 的方程； (2) 设 $P(x_0,y_0)$（$y_0\neq\pm3$）为圆 $C_2$ 外一点，过 $P$ 作圆 $C_2$ 的两条切线，分别与曲线 $C_1$ 相交于点 $A$，$B$ 和 $C$，$D$. 证明：当 $P$ 在直线 $x=-4$ 上运动时，四点 $A$，$B$，$C$，$D$ 的纵坐标之积为定值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 $M(x,y)$ 为 $C_1$ 上一点. 因为 $M$ 在圆 $C_2$ 外，$M$ 到圆上点的最小距离等于 $M$ 到圆心 $O(5,0)$ 的距离减去半径 $3$，即 题设给出 若 $x\leqslant-2$，则 $|x+2|=-x-2$，从而 平方得 $(x-5)^2+y^2=(1-x)^2$，$y^2=8x-24<0$ 矛盾. 因此 $x>-2$，于是 $|x+2|=x+2$，有 平方整理得 $(x-5)^2+y^2=(x+5)^2$，$y^2=20x$. 反之，曲线 $y^2=20x$ 上的点满足 $x\geqslant0$，代回等式可验证确在圆外且满足距离条件. 故

\item 设 $P=(-4,y_0)$，其中 $y_0\neq\pm3$. 直线 $x=-4$ 到圆心的距离为 $9$，不可能是切线；水平直线 $y=y_0$ 只有在 $y_0=\pm3$ 时才与圆相切，也已被题设排除. 因此两条切线的斜率均为有限非零数，过 $P$ 的这类直线可写成 将 $x=\frac{y-y_0}{k}-4$ 代入 $y^2=20x$，得 因此该直线与抛物线交点的两个纵坐标之积为

设两条切线的斜率为 $k_1$，$k_2$. 切线与圆 相切的条件是圆心到直线 的距离等于 $3$，即 平方整理为 故 $k_1+k_2=-\frac{y_0}{4}$，$k_1k_2=\frac{y_0^2-9}{72}$. 四个交点纵坐标的乘积为 代入 $k_1+k_2$ 与 $k_1k_2$，得 所以该乘积为定值 $6400$. \end{enumerate} \end{solution}