已知两条直线 $l_1:y=m$ 和 $l_2:y=\frac{8}{2m+1}$（$m>0$），$l_1$ 与函数 $y=|\log_2 x|$ 的图象从左至右相交于点 $A$，$B$，$l_2$ 与函数 $y=|\log_2 x|$ 的图象从左至右相交于点 $C$，$D$. 记线段 $AC$ 和 $BD$ 在 $x$ 轴上的投影长度分别为 $a$，$b$. 当 $m$ 变化时，$\frac{b}{a}$ 的最小值为（ ）

函数 $f(x)=\sin(\omega x+\varphi)$ 的导函数 $y=f'(x)$ 的部分图象如图所示，其中，$P$ 为图象与 $y$ 轴的交点，$A$，$C$ 为图象与 $x$ 轴的两个交点，$B$ 为图象的最低点.

(1) 若 $\varphi=\frac{\pi}{6}$，点 $P$ 的坐标为 $\left(0,\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$，则 $\omega=$______. (2) 若在曲线段 $\overset{\frown}{ABC}$ 与 $x$ 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在 $\triangle ABC$ 内的概率为______.

某企业接到生产 $3000$ 台某产品的 $A$，$B$，$C$ 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为 $2$，$2$，$1$（单位：件）. 已知每个工人每天可生产 $A$ 部件 $6$ 件，或 $B$ 部件 $3$ 件，或 $C$ 部件 $2$ 件. 该企业计划安排 $200$ 名工人分成三组分别生产这三种部件，生产 $B$ 部件的人数与生产 $A$ 部件的人数成正比，比例系数为 $k$（$k$ 为正整数）.

(1) 设生产 $A$ 部件的人数为 $x$，分别写出完成 $A$，$B$，$C$ 三种部件生产需要的时间； (2) 假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数 $k$ 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 生产三种部件分别需要 $T_A(x)=\frac{3000\cdot2}{6x}=\frac{1000}{x}$，$T_B(x)=\frac{3000\cdot2}{3kx}=\frac{2000}{kx}$ 其中 $x\in\mathbf N^*$，且 $(1+k)x<200$.

\item 完成订单所需时间为 先考察 $k=1$. 当 $x\leqslant72$ 时， 当 $x\geqslant73$ 时，$200-2x\leqslant54$，故

当 $k=2$ 时， $T_A(x)=T_B(x)=\frac{1000}{x}$，$T_C(x)=\frac{1500}{200-3x}$，$x\leqslant66$. 若 $x\leqslant44$，则 取 $x=44$ 时， $T_A=T_B=\frac{250}{11}$，$T_C=\frac{1500}{68}=\frac{375}{17}<\frac{250}{11}$. 若 $x\geqslant45$，则 所以 $k=2$ 时最小时间为 $\frac{250}{11}$，人数分组为 $x=44$，$kx=88$，$200-(1+k)x=68$.

最后考察 $k\geqslant3$. 此时 $T_B(x)\leqslant T_A(x)$，且可行的 $x$ 范围包含在 $k=3$ 的可行范围内，而 $T_C(x)$ 随 $k$ 增大而不减. 对 $k=3$，若 $x\leqslant36$，则 若 $x\geqslant37$，则 因此所有 $k\geqslant3$ 都有 $T\geqslant\frac{250}{9}>\frac{250}{11}$. 综上，最优值为 $k=2$，最短时间为 $\frac{250}{11}$ 天，方案为 $A$，$B$，$C$ 三组分别 $44$，$88$，$68$ 人. \end{enumerate} \end{solution}

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{ax}-x$，其中 $a\neq0$.

(1) 若对一切 $x\in\mathbf{R}$，$f(x)\geqslant1$ 恒成立，求 $a$ 的取值集合； (2) 在函数 $f(x)$ 的图象上取定两点 $A(x_1,f(x_1))$，$B(x_2,f(x_2))$（$x_1<x_2$），记直线 $AB$ 的斜率为 $k$. 问：是否存在 $x_0\in(x_1,x_2)$，使 $f'(x_0)>k$ 成立？若存在，求 $x_0$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 若 $a<0$，则当 $x\to+\infty$ 时，$\mathrm{e}^{ax}\to0$，从而 不可能恒有 $f(x)\geqslant1$. 所以必须 $a>0$.

当 $a>0$ 时， $f'(x)=a\mathrm{e}^{ax}-1$，$f''(x)=a^2\mathrm{e}^{ax}>0$. 因此 $f$ 在唯一的极小点 $a\mathrm{e}^{ax}=1$，$\Longrightarrow$，$x=-\frac{\ln a}{a}$ 处取得最小值. 代入得 故题设条件等价于 令 $h(a)=a-1-\ln a$，则 $h'(a)=1-\frac1a$，$h(1)=0$. 函数 $h$ 在 $a=1$ 处取得最小值 $0$，所以 $h(a)\geqslant0$，且等号仅在 $a=1$ 时成立. 因而

\item 记 由 $a\neq0$，有 $\frac{D}{a}>0$. 又函数 $g(x)=a\mathrm{e}^{ax}$ 满足 所以 $g$ 严格递增. 由拉格朗日中值定理，存在唯一的 $c\in(x_1,x_2)$，使 解得 另一方面，直线 $AB$ 的斜率为 而 因此 在 $x\in(x_1,x_2)$ 内，所有满足条件的 $x_0$ 构成区间 所以这样的 $x_0$ 存在. \end{enumerate} \end{solution}