已知数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正数，记 $A(n)=a_1+a_2+\cdots+a_n$，$B(n)=a_2+a_3+\cdots+a_{n+1}$，$C(n)=a_3+a_4+\cdots+a_{n+2}$，$n=1$，$2$，$\cdots$.

(1) 若 $a_1=1$，$a_2=5$，且对任意 $n\in\mathbf{N}^*$，三个数 $A(n)$，$B(n)$，$C(n)$ 组成等差数列，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； (2) 证明：数列 $\{a_n\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列的充分必要条件是：对任意 $n\in\mathbf{N}^*$，三个数 $A(n)$，$B(n)$，$C(n)$ 组成公比为 $q$ 的等比数列.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 对任意 $n$，由 $A(n)$，$B(n)$，$C(n)$ 成等差数列，有 代入三组和式并消去公共项，得到 即 所以数列从第一项开始公差为 $4$，结合 $a_1=1$，得

\item 先证必要性. 若 $\{a_n\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，则 $B(n)=qA(n)$，$C(n)=qB(n)=q^2A(n)$. 故 $A(n)$，$B(n)$，$C(n)$ 成公比为 $q$ 的等比数列.

再证充分性. 已知对任意 $n$， $B(n)=qA(n)$，$C(n)=qB(n)$. 取相邻两式相减. 由 $B(n)-B(n-1)=a_{n+1}$，以及 对 $n\geqslant2$ 有 当 $n=1$ 时，$B(1)=qA(1)$ 给出 $a_2=qa_1$. 因而对所有 $n\geqslant1$ 都有 $a_{n+1}=qa_n$，所以 $\{a_n\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列. 必要性与充分性均成立. \end{enumerate} \end{solution}