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02
不等式
★★☆☆☆
设变量
x
x
x
，
y
y
y
满足约束条件
{
x
+
y
−
2
⩾
0
,
x
−
y
−
2
⩽
0
,
y
⩾
1
,
\begin{cases} x + y - 2 \geqslant 0,\\ x - y - 2 \leqslant 0,\\ y \geqslant 1, \end{cases}
⎩
⎨
⎧
x
+
y
−
2
⩾
0
,
x
−
y
−
2
⩽
0
,
y
⩾
1
,
则目标函数
z
=
x
+
2
y
z = x + 2y
z
=
x
+
2
y
的最小值为（ ）
A.
2
2
2
B.
3
3
3
C.
4
4
4
D.
5
5
5
2014 · 天津 · 文 · 第 2 题 · 选择题
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20
集合与逻辑基础
★★★★☆
已知
q
q
q
和
n
n
n
均为给定的大于
1
1
1
的自然数. 设集合
M
=
{
0
,
1
,
2
,
⋯
,
q
−
1
}
M = \{0, 1, 2, \cdots, q-1\}
M
=
{
0
,
1
,
2
,
⋯
,
q
−
1
}
，集合
A
=
{
x
∣
x
=
x
1
+
x
2
q
+
⋯
+
x
n
q
n
−
1
,
x
i
∈
M
,
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
}
A = \{x \mid x = x_1 + x_2q + \cdots + x_nq^{n-1}, x_i \in M, i = 1, 2, \cdots, n\}
A
=
{
x
∣
x
=
x
1
+
x
2
q
+
⋯
+
x
n
q
n
−
1
,
x
i
∈
M
,
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
}
.
(1) 当
q
=
2
q = 2
q
=
2
，
n
=
3
n = 3
n
=
3
时，用列举法表示集合
A
A
A
； (2) 设
s
s
s
，
t
∈
A
t \in A
t
∈
A
，
s
=
a
1
+
a
2
q
+
⋯
+
a
n
q
n
−
1
s = a_1 + a_2q + \cdots + a_nq^{n-1}
s
=
a
1
+
a
2
q
+
⋯
+
a
n
q
n
−
1
，
t
=
b
1
+
b
2
q
+
⋯
+
b
n
q
n
−
1
t = b_1 + b_2q + \cdots + b_nq^{n-1}
t
=
b
1
+
b
2
q
+
⋯
+
b
n
q
n
−
1
，其中
a
i
a_i
a
i
，
b
i
∈
M
b_i \in M
b
i
∈
M
，
i
=
1
i = 1
i
=
1
，
2
2
2
，
⋯
\cdots
⋯
，
n
n
n
. 证明：若
a
n
<
b
n
a_n < b_n
a
n
<
b
n
，则
s
<
t
s < t
s
<
t
.
2014 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题
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