已知菱形 $ABCD$ 的边长为 $2$，$\angle BAD = 120^{\circ}$，点 $E$，$F$ 分别在边 $BC$，$DC$ 上，$BC = 3BE$，$DC = \lambda DF$. 若 $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} = 1$，则 $\lambda$ 的值为______.