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01三角函数★☆☆☆☆
函数 y=12sin⁡2xy=\frac{1}{2}\sin2x 的最小正周期 T=T=______.

2010 · 上海 · 春季 · 第 1 题 · 填空题

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02函数与初等函数★☆☆☆☆
已知函数 f(x)=ax2+2xf(x)=ax^2+2x 是奇函数，则实数 a=a=______.

2010 · 上海 · 春季 · 第 2 题 · 填空题

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03复数★☆☆☆☆
计算：2i1+i=\dfrac{2\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=______（i\mathrm{i} 为虚数单位）.

2010 · 上海 · 春季 · 第 3 题 · 填空题

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04集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∣∣x∣<2}A=\{x\mid |x|<2\}，B={x∣1x+1>0}B=\left\{x\mid \dfrac{1}{x+1}>0\right\}，则 A∩B=A\cap B=______.

2010 · 上海 · 春季 · 第 4 题 · 填空题

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05解析几何★☆☆☆☆
若椭圆 x225+y216=1\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1 上一点 PP 到焦点 F1F_1 的距离为 66，则点 PP 到另一个焦点 F2F_2 的距离是______.

2010 · 上海 · 春季 · 第 5 题 · 填空题

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06概率与统计★☆☆☆☆
某社区对居民进行上海世博会知晓情况的分层抽样调查. 已知该社区有青年人，中年人和老年人分别有 800 人800\text{ 人}，1600 人1600\text{ 人}，1400 人1400\text{ 人}. 若在老年人中的抽样人数是 7070 人，则在中年人中的抽样人数应该是______.

2010 · 上海 · 春季 · 第 6 题 · 填空题

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07解析几何★★★☆☆
已知双曲线 CC 经过点 (1,1)(1,1)，它的一条渐近线方程为 y=3xy=\sqrt{3}x，则双曲线 CC 的标准方程是______.

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08计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (2x2+1x)6\left(2x^2+\dfrac{1}{x}\right)^6 的二项展开式中，常数项是______.

2010 · 上海 · 春季 · 第 8 题 · 填空题

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09概率与统计★☆☆☆☆
连续掷两次骰子，出现点数之和等于 44 的概率为______（结果用数值表示）.

2010 · 上海 · 春季 · 第 9 题 · 填空题

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10立体几何初步★★☆☆☆
各棱长都为 11 的正四棱锥的体积 V=V=______.

2010 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题

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11复数★★☆☆☆
方程
∣1241xx21−39∣=0\begin{vmatrix}1 & 2 & 4 \\ 1 & x & x^2 \\ 1 & -3 & 9\end{vmatrix}=0
的解集为______.

2010 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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12不等式★★★☆☆
根据所示的程序框图（其中 [x][x] 表示不大于 xx 的最大整数），输出 r=r=______.

2010 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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13立体几何初步★★★☆☆
在下图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为 40 cm40\mathrm{~cm}，母线长最短 50 cm50\mathrm{~cm}，最长 80 cm80\mathrm{~cm}.
则斜截圆柱侧面面积 S=S=______cm2\mathrm{cm}^2.

2010 · 上海 · 春季 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★★★☆
设 nn 阶方阵
An=(135⋯2n−12n+12n+32n+5⋯4n−14n+14n+34n+5⋯6n−1⋮⋮⋮⋮⋮2n(n−1)+12n(n−1)+32n(n−1)+5⋯2n2−1)A_n=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & \cdots & 2n-1 \\ 2n+1 & 2n+3 & 2n+5 & \cdots & 4n-1 \\ 4n+1 & 4n+3 & 4n+5 & \cdots & 6n-1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 2n(n-1)+1 & 2n(n-1)+3 & 2n(n-1)+5 & \cdots & 2n^2-1 \end{pmatrix}
. 任取 AnA_n 中的一个元素，记为 x1x_1；划去 x1x_1 所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成 n−1n-1 阶方阵 An−1A_{n-1}，任取 An−1A_{n-1} 中的一个元素，记为 x2x_2；划去 x2x_2 所在的行和列，……；将最后剩下的一个元素记为 xnx_n. 记 Sn=x1+x2+⋯+xnS_n=x_1+x_2+\cdots+x_n，则 lim⁡n→∞Snn3+1=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n}{n^3+1}=______.

2010 · 上海 · 春季 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★☆☆☆
若空间三条直线 aa，bb，cc 满足 a⊥ba\perp b，b⊥cb\perp c，则直线 aa 与 cc（ ）
A.
一定平行.
B.
一定相交.
C.
一定是异面直线.
D.
平行，相交，是异面直线都有可能.

2010 · 上海 · 春季 · 第 15 题 · 选择题

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16不等式★★☆☆☆
已知 a1a_1，a2∈(0,1)a_2\in(0,1). 记 M=a1a2M=a_1a_2，N=a1+a2−1N=a_1+a_2-1，则 MM 与 NN 的大小关系是（ ）
A.
M<NM<N.
B.
M>NM>N.
C.
M=NM=N.
D.
不确定.

2010 · 上海 · 春季 · 第 16 题 · 选择题

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17解析几何★★☆☆☆
已知抛物线 C:y2=xC:y^2=x 与直线 l:y=kx+1l:y=kx+1. “k≠0k\ne0”是“直线 ll 与抛物线 CC 有两个不同的交点”的（ ）
A.
充分不必要条件.
B.
必要不充分条件.
C.
充要条件.
D.
既不充分也不必要条件.

2010 · 上海 · 春季 · 第 17 题 · 选择题

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18函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=14−2xf(x)=\dfrac{1}{4-2^x} 的图像关于点 PP 对称，则点 PP 的坐标是（ ）
A.
(2,12)\left(2,\frac{1}{2}\right).
B.
(2,14)\left(2,\frac{1}{4}\right).
C.
(2,18)\left(2,\frac{1}{8}\right).
D.
(0,0)(0,0).

2010 · 上海 · 春季 · 第 18 题 · 选择题

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19三角函数★★☆☆☆
已知 tan⁡θ=a\tan\theta=a（a>1a>1），求 sin⁡(π4+θ)sin⁡(π2−θ)⋅tan⁡2θ\dfrac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}\cdot\tan2\theta 的值.

2010 · 上海 · 春季 · 第 19 题 · 解答题

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20指数函数与对数函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=log⁡a(8−2x)f(x)=\log_a(8-2^x)（a>0a>0，且 a≠1a\ne1）.
(1) 若函数 f(x)f(x) 的反函数是其本身，求 aa 的值； (2) 当 a>1a>1 时，求函数 y=f(x)+f(−x)y=f(x)+f(-x) 的最大值.

2010 · 上海 · 春季 · 第 20 题 · 解答题

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21立体几何初步★★★★☆
已知地球的半径约为 6371 千米6371\text{ 千米}. 上海的位置约为东经 121∘121^\circ，北纬 31∘31^\circ，大连的位置为东经 121∘121^\circ，北纬 39∘39^\circ，里斯本的位置约为西经 10∘10^\circ，北纬 39∘39^\circ.
(1) 若飞机以平均速度 720 千米/小时720\text{ 千米/小时} 飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到 0.1 小时0.1\text{ 小时}）； (2) 求大连与里斯本之间的球面距离（结果精确到 1 千米1\text{ 千米}）.

2010 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题

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22平面向量★★★★☆
在平面上，给定非零向量 b\boldsymbol{b}. 对任意向量 a\boldsymbol{a}，定义 a′=a−2(a⋅b)∣b∣2b\boldsymbol{a}'=\boldsymbol{a}-\dfrac{2(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})}{|\boldsymbol{b}|^2}\boldsymbol{b}.
(1) 若 a=(2,3)\boldsymbol{a}=(2,3)，b=(−1,3)\boldsymbol{b}=(-1,3)，求 a′\boldsymbol{a}'； (2) 若 b=(2,1)\boldsymbol{b}=(2,1)，证明：若位置向量 a\boldsymbol{a} 的终点在直线 Ax+By+C=0Ax+By+C=0 上，则位置向量 a′\boldsymbol{a}' 的终点也在一条直线上； (3) 已知存在单位向量 b\boldsymbol{b}，当位置向量 a\boldsymbol{a} 的终点在抛物线 C:x2=yC:x^2=y 上时，位置向量 a′\boldsymbol{a}' 的终点总在抛物线 C′:y2=xC':y^2=x 上. 曲线 CC 与 C′C' 关于直线 ll 对称，问直线 ll 与向量 b\boldsymbol{b} 满足什么关系？

2010 · 上海 · 春季 · 第 22 题 · 解答题

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23数列★★★★★
已知首项为 x1x_1 的数列 {xn}\{x_n\} 满足 xn+1=axnxn+1x_{n+1}=\dfrac{ax_n}{x_n+1}（aa 为常数）.
(1) 若对任意的 x1≠−1x_1\ne-1，有 xn+2=xnx_{n+2}=x_n 对任意的 n∈N∗n\in\mathbf{N}^* 都成立，求 aa 的值； (2) 当 a=1a=1 时，若 x1>0x_1>0，数列 {xn}\{x_n\} 是递增数列还是递减数列？请说明理由； (3) 当 aa 确定后，数列 {xn}\{x_n\} 由其首项 x1x_1 确定. 当 a=2a=2 时，通过对数列 {xn}\{x_n\} 的探究，写出“{xn}\{x_n\} 是有穷数列”的一个真命题（不必证明）.

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