设 $n$ 阶方阵 . 任取 $A_n$ 中的一个元素，记为 $x_1$；划去 $x_1$ 所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成 $n-1$ 阶方阵 $A_{n-1}$，任取 $A_{n-1}$ 中的一个元素，记为 $x_2$；划去 $x_2$ 所在的行和列，……；将最后剩下的一个元素记为 $x_n$. 记 $S_n=x_1+x_2+\cdots+x_n$，则 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n}{n^3+1}=$______.

已知首项为 $x_1$ 的数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_{n+1}=\dfrac{ax_n}{x_n+1}$（$a$ 为常数）.

(1) 若对任意的 $x_1\ne-1$，有 $x_{n+2}=x_n$ 对任意的 $n\in\mathbf{N}^*$ 都成立，求 $a$ 的值； (2) 当 $a=1$ 时，若 $x_1>0$，数列 $\{x_n\}$ 是递增数列还是递减数列？请说明理由； (3) 当 $a$ 确定后，数列 $\{x_n\}$ 由其首项 $x_1$ 确定. 当 $a=2$ 时，通过对数列 $\{x_n\}$ 的探究，写出“$\{x_n\}$ 是有穷数列”的一个真命题（不必证明）.