“ $a = 1$ ”是“直线 $x + y = 0$ 和直线 $x - ay = 0$ 互相垂直”的（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 直线 $x+y=0$ 的一个方向向量为 $(1,-1)$，直线 $x-ay=0$ 的一个方向向量为 $(a,1)$. 两直线互相垂直当且仅当 $(1,-1)\cdot(a,1)=a-1=0$，即 $a=1$. 因此“$a=1$”既是两直线互相垂直的充分条件，也是必要条件，故选 C. \end{solution}

双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的两个焦点为 $F_1$，$F_2$. 若 $P$ 为其上一点，且 $|PF_1| = 2|PF_2|$，则双曲线离心率的取值范围为（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 设双曲线半焦距为 $c$，则离心率 $e=\frac ca$，且 $c^2=a^2+b^2$，所以 $e>1$. 双曲线的定义给出 $\left||PF_1|-|PF_2|\right|=2a$. 设较短的焦半径为 $r$，则由题设较长的焦半径为 $2r$，于是 $r=2a$，两焦半径分别为 $2a$，$4a$.

由三角形不等式，焦点间距离 $2c$ 满足 $2a\leqslant2c\leqslant6a$，从而 $1\leqslant e\leqslant3$. 结合 $b>0$ 得 $e>1$，故 $1<e\leqslant3$. 反过来，当 $1<e\leqslant3$ 时，以两焦点为圆心、$2a$ 和 $4a$ 为半径的两圆满足交点存在条件 $2a\leqslant2c\leqslant6a$，交点即为满足题设距离比的双曲线上一点，因此范围确为 $(1,3]$，选 B. \end{solution}

若直线 $3x + 4y + m = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2x + 4y + 4 = 0$ 没有公共点，则实数 $m$ 的取值范围是______.

\begin{answer} $(-\infty,0)\cup(10,+\infty)$ \end{answer}

\begin{solution} 圆的方程可化为 $(x-1)^2+(y+2)^2=1$，所以圆心为 $(1,-2)$，半径为 $1$. 圆心到直线 $3x+4y+m=0$ 的距离为 直线与圆没有公共点当且仅当该距离大于半径，即 $\frac{|m-5|}{5}>1$. 因而 $|m-5|>5$，解得 $m<0$ 或 $m>10$，所以取值范围为 $(-\infty,0)\cup(10,+\infty)$. \end{solution}

如图，椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的一个焦点为 $F(1,0)$，且过点 $(2,0)$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 若 $AB$ 为垂直于 $x$ 轴的动弦，直线 $l: x = 4$ 与 $x$ 轴交于点 $N$，直线 $AF$ 与 $BN$ 交于点 $M$.

(i) 求证：点 $M$ 恒在椭圆 $C$ 上； (ii) 求 $\triangle AMN$ 面积的最大值.