如果函数 $y = f(x)$ 的图象如下图，那么导函数 $y = f'(x)$ 的图象可能是（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 由题图可知，函数 $f(x)$ 先增后减，再增后减，因此 $f'(x)$ 的符号应依次为正、负、正、负；在 $f(x)$ 的三个极值点处，$f'(x)=0$. 选项 A 的图象具有上述符号变化和零点位置，其他选项至少有一处与 $f(x)$ 的单调性不符，故选 A. \end{solution}

已知函数 $f(x) = x^3 + mx^2 + nx - 2$ 的图象过点 $(-1, -6)$，且函数 $g(x) = f'(x) + 6x$ 的图象关于 $y$ 轴对称.

(1) 求 $m$，$n$ 的值及函数 $y = f(x)$ 的单调区间； (2) 若 $a > 0$，求函数 $y = f(x)$ 在区间 $(a - 1, a + 1)$ 内的极值.

如图，椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的一个焦点为 $F(1,0)$，且过点 $(2,0)$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 若 $AB$ 为垂直于 $x$ 轴的动弦，直线 $l: x = 4$ 与 $x$ 轴交于点 $N$，直线 $AF$ 与 $BN$ 交于点 $M$.

(i) 求证：点 $M$ 恒在椭圆 $C$ 上； (ii) 求 $\triangle AMN$ 面积的最大值.