设 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，若 $a_{2} = 3$，$a_{7} = 13$，则数列 $\{a_{n}\}$ 前 8 项的和为（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$. 由 $a_7=a_2+5d$，得 $5d=a_7-a_2=13-3=10$，所以 $d=2$，$a_1=a_2-d=3-2=1$. 因此前 8 项的和为 $S_8=\frac{8}{2}\bigl(2a_1+7d\bigr)=4\bigl(2\times1+7\times2\bigr)=64$，故选 C. \end{solution}

已知 $\{a_{n}\}$ 是正数组成的数列，$a_{1} = 1$，且点 $(\sqrt{a_{n}}, a_{n+1})$（$n \in \mathbf{N}^{*}$）在函数 $y = x^{2} + 1$ 的图象上.

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2) 若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1}=1$，$b_{n+1}=b_{n}+2^{a_{n}}$，求证：$b_{n}\cdot b_{n+2}<b_{n+1}^{2}$.