如图，在长方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$AB = BC = 2$，$AA_{1} = 1$，则 $AC_{1}$ 与平面 $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 所成角的正弦值为（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 线段 $AC_1$ 在平面 $A_1B_1C_1D_1$ 上的射影为 $A_1C_1$. 由 $AB=BC=2$，得 $A_1C_1=\sqrt{AB^2+BC^2}=2\sqrt2$. 又 $AA_1=1$，所以 $AC_1=\sqrt{A_1C_1^2+AA_1^2}=\sqrt{8+1}=3$. 设 $AC_1$ 与该平面所成的角为 $\theta$，则 $\sin\theta=\dfrac{AA_1}{AC_1}=\dfrac13$，故选 D. \end{solution}

若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 $\sqrt{3}$，则其外接球的表面积是______.

\begin{answer} $9\pi$ \end{answer}

\begin{solution} 设三棱锥的顶点为 $O$，底面顶点为 $A$，$B$，$C$. 由于三个侧面两两垂直，可取 $OA$，$OB$，$OC$ 为互相垂直的三条坐标轴，并设 $A=(\sqrt3,0,0)$，$B=(0,\sqrt3,0)$，$C=(0,0,\sqrt3)$，$O=(0,0,0)$.

外接球球心到 $O$，$A$，$B$，$C$ 的距离相等. 由对称性球心为 $Q=\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac{\sqrt3}{2},\frac{\sqrt3}{2}\right)$，其半径满足 $R=QO=\sqrt{3\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=\frac32$. 因此外接球的表面积为 $4\pi R^2=4\pi\left(\frac32\right)^2=9\pi$. \end{solution}

如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中，侧面 $PAD \perp$ 底面 $ABCD$，侧棱 $PA = PD = \sqrt{2}$，底面 $ABCD$ 为直角梯形，其中 $BC \parallel AD$，$AB \perp AD$，$AD = 2AB = 2BC = 2$，$O$ 为 $AD$ 中点.

(1) 求证：$PO \perp$ 平面 $ABCD$； (2) 求异面直线 $PB$ 与 $CD$ 所成角的余弦值； (3) 求点 $A$ 到平面 $PCD$ 的距离.