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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8}U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}，M={1,3,5,7}M = \{1, 3, 5, 7\}，N={5,6,7}N = \{5, 6, 7\}，则 ∁U(M∪N)=\complement_U(M \cup N) =（ ）
A.
{5,7}\{5, 7\}
B.
{2,4}\{2, 4\}
C.
{2,4,8}\{2, 4, 8\}
D.
{1,3,5,6,7}\{1,3,5,6,7\}

2009 · 全国 · 大纲二卷 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=−xy = \sqrt{-x}（x⩽0x \leqslant 0）的反函数是（ ）
A.
y=x2y = x^{2}（x⩾0x\geqslant 0）
B.
y=−x2y = -x^{2}（x⩾0x\geqslant 0）
C.
y=x2y = x^{2}（x⩽0x\leqslant 0）
D.
y=−x2y = -x^{2}（x⩽0x\leqslant 0）

2009 · 全国 · 大纲二卷 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=log⁡22−x2+xy = \log_2\frac{2 - x}{2 + x} 的图象（ ）
A.
关于原点对称
B.
关于直线 y=−xy = -x 对称
C.
关于 yy 轴对称
D.
关于直线 y=xy = x 对称

2009 · 全国 · 大纲二卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 中，cot⁡A=−125\cot A = -\frac{12}{5}，则 cos⁡A=\cos A =（ ）
A.
1213\frac{12}{13}
B.
513\frac{5}{13}
C.
−513-\frac{5}{13}
D.
−1213-\frac{12}{13}

2009 · 全国 · 大纲二卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★☆☆☆
已知正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AA1=2ABAA_{1} = 2AB，EE 为 AA1AA_{1} 中点，则异面直线 BEBE 与 CD1CD_{1} 所成的角的余弦值为（ ）
A.
1010\frac{\sqrt{10}}{10}
B.
15\frac{1}{5}
C.
31010\frac{3\sqrt{10}}{10}
D.
35\frac{3}{5}

2009 · 全国 · 大纲二卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(2,1)\boldsymbol{a} = (2,1)，a⋅b=10\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 10，∣a+b∣=52|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = 5\sqrt{2}，则 ∣b∣=|\boldsymbol{b}| =（ ）
A.
5\sqrt{5}
B.
10\sqrt{10}
C.
55
D.
2525

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
设 a=lg⁡ea = \lg \mathrm{e}，b=(lg⁡e)2b = (\lg \mathrm{e})^2，c=lg⁡ec = \lg \sqrt{\mathrm{e}}，则（ ）
A.
a>b>ca > b > c
B.
a>c>ba > c > b
C.
c>a>bc > a > b
D.
c>b>ac > b > a

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08解析几何★★☆☆☆
双曲线 x26−y23=1\frac{x^2}{6} - \frac{y^2}{3} = 1 的渐近线与圆 (x−3)2+y2=r2(x - 3)^2 + y^2 = r^2（r>0r > 0）相切，则 r=r =（ ）
A.
3\sqrt{3}
B.
22
C.
33
D.
66

2009 · 全国 · 大纲二卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09三角函数★★★☆☆
若将函数 y=tan⁡(ωx+π4)y = \tan \left( \omega x + \frac{\pi}{4} \right) （ω>0\omega > 0）的图象向右平移 π6\frac{\pi}{6} 个单位长度后，与函数 y=tan⁡(ωx+π6)y = \tan \left( \omega x + \frac{\pi}{6} \right) 的图象重合，则 ω\omega 的最小值为（ ）
A.
16\frac{1}{6}
B.
14\frac{1}{4}
C.
13\frac{1}{3}
D.
12\frac{1}{2}

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
甲，乙两人从 4 门4\text{ 门}课程中各选修 2 门2\text{ 门}，则甲，乙所选的课程中恰有 1 门1\text{ 门}相同的选法有（ ）
A.
6 种6\text{ 种}
B.
12 种12\text{ 种}
C.
24 种24\text{ 种}
D.
30 种30\text{ 种}

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11解析几何★★★★☆
已知直线 y=k(x+2)y = k(x + 2) （k>0k > 0）与抛物线 C:y2=8xC: y^2 = 8x 相交于 AA，BB 两点，FF 为 CC 的焦点. 若 ∣FA∣=2∣FB∣|FA| = 2|FB|，则 k=k =（ ）
A.
13\frac{1}{3}
B.
23\frac{\sqrt{2}}{3}
C.
23\frac{2}{3}
D.
223\frac{2\sqrt{2}}{3}

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12立体几何初步★★★☆☆
纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上，下，东，南，西，北. 现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图的平面图形，则标“△\triangle”的面的方位是（ ）
A.
南
B.
北
C.
西
D.
下

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13数列★★☆☆☆
设等比数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，若 a1=1a_{1} = 1，S6=4S3S_{6} = 4S_{3}，则 a4=a_{4} =______.

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
(xy−yx)4\left(x\sqrt{y} - y\sqrt{x}\right)^4 的展开式中 x3y3x^3 y^3 的系数为______.

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15解析几何★★☆☆☆
已知圆 O:x2+y2=5O: x^{2} + y^{2} = 5 和点 A(1,2)A(1,2)，则过 AA 且与圆 OO 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于______.

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16立体几何初步★★★☆☆
设 OAOA 是球 OO 的半径，MM 是 OAOA 的中点，过 MM 且与 OAOA 成 45∘45^{\circ} 角的平面截球 OO 的表面得到圆 CC. 若圆 CC 的面积等于 7π4\frac{7\pi}{4}，则球 OO 的表面积等于______.

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17数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，a3a7=−16a_{3}a_{7} = -16，a4+a6=0a_{4} + a_{6} = 0. 求 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

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18三角函数★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边长分别为 aa，bb，cc，cos⁡(A−C)+cos⁡B=32\cos (A - C) + \cos B = \frac{3}{2}，b2=acb^2 = ac，求 BB.

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19立体几何初步★★★★☆
如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，AB⊥ACAB \perp AC，DD，EE 分别为 AA1A A_{1}，B1CB_{1}C 的中点，DE⊥DE \perp 平面 BCC1BCC_{1}.
(1) 证明： AB=ACAB = AC； (2) 设二面角 A−BD−CA - BD - C 为 60∘60^{\circ}，求 B1CB_{1}C 与平面 BCDBCD 所成的角的大小.

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20概率与统计★★★☆☆
某车间甲组有 10 名10\text{ 名}工人，其中有 4 名4\text{ 名}女工人；乙组有 10 名10\text{ 名}工人，其中有 6 名6\text{ 名}女工人. 现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲，乙两组中共抽取 4 名4\text{ 名}工人进行技术考核.
(1) 求从甲，乙两组各抽取的人数； (2) 求从甲组抽取的工人中恰有 1 名1\text{ 名}女工人的概率； (3) 求抽取的 4 名4\text{ 名}工人中恰有 2 名2\text{ 名}男工人的概率.

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21导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=13x3−(1+a)x2+4ax+24af(x) = \frac{1}{3} x^3 - (1 + a)x^2 + 4ax + 24a，其中常数 a>1a > 1.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若当 x⩾0x \geqslant 0 时，f(x)>0f(x) > 0 恒成立，求 aa 的取值范围.

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22解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）的离心率为 33\frac{\sqrt{3}}{3}，过右焦点 FF 的直线 ll 与 CC 相交于 AA，BB 两点，当 ll 的斜率为 11 时，坐标原点 OO 到 ll 的距离为 22\frac{\sqrt{2}}{2}.
(1) 求 aa，bb 的值； (2) CC 上是否存在点 PP，使得当 ll 绕 FF 转到某一位置时，有 OP→=OA→+OB→\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} 成立？若存在，求出所有的 PP 的坐标与 ll 的方程；若不存在，说明理由.

2009 · 全国 · 大纲二卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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